Introdução à Estatística: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

2Exercícios

1.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 11, 34, 26, 10, 41, 35, 57.

n = 7

s =

2.Estatística descritivaDifícil

Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 100 e desvio-padrão 12. Que proporção P dos valores está acima de 85,6?

μ = 100σ = 12x = 85,6

P =

3.ProbabilidadesMédia

Para a distribuição mostrada, encontre a variância Var(X) de X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,35, 0,25, 0,1

Var(X) =

4.ProbabilidadesDifícil

X tem a distribuição mostrada e Y = 10X + 5. Encontre o desvio padrão σ_Y de Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,2, 0,35, 0,15, 0,15, 0,15Y = 10X + 5

σ_Y =

5.Distribuição normalMédia

Arraste z para que a área sombreada sob a curva normal padrão, à direita de z, seja 0,1020. Encontre z com duas casas decimais.

A = 0,1020

z =

6.Distribuição normalDifícil

Os diâmetros D dos furos são normais com média 25,02 mm e desvio padrão 0,01 mm. Os diâmetros d dos eixos são independentes e normais com média 25 mm e desvio padrão 0,01 mm. Um eixo escolhido ao acaso encaixa quando D − d > 0. Encontre a probabilidade P de ele encaixar. Arredonde z para duas casas decimais.

furo: μ = 25,02 mm, σ = 0,01 mmeixo: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

7.Intervalos de confiançaMédia

A duração da bateria de dois modelos de celular é comparada. Modelo 1: 40 celulares, média 91,5 h, desvio-padrão conhecido 9 h. Modelo 2: 100 celulares, média 101 h, desvio-padrão conhecido 6 h. Encontre o limite superior do intervalo de confiança de 95% para μ₁ − μ₂.

n₁ = 40x̄₁ = 91,5 hσ₁ = 9 hn₂ = 100x̄₂ = 101 hσ₂ = 6 h95%

limite superior = h

8.Intervalos de confiançaDifícil

Não se sabe nada de antemão sobre a proporção de produtos defeituosos. Quantos produtos n devem ser inspecionados para que um intervalo de confiança de 99% para a proporção tenha margem de erro de no máximo 0,01?

p = 0,5E = 0,0199%

n =

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

Dois métodos de ensino são comparados. Grupo 1: 5 alunos, nota média 63, desvio-padrão 8. Grupo 2: 7 alunos, nota média 57,6, desvio-padrão 7,5. Suponha variâncias populacionais iguais e use o teste t de duas amostras com variância combinada. Encontre a estatística de teste t para H₀: μ₁ = μ₂, tomando a diferença como x̄₁ − x̄₂ (grupo 1 menos grupo 2).

n₁ = 5x̄₁ = 63s₁ = 8n₂ = 7x̄₂ = 57,6s₂ = 7,5

t =

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Em um ensaio, 24 de 120 pacientes com o tratamento A se recuperam, e 36 de 150 pacientes com o tratamento B. Usando a proporção combinada, encontre a estatística de teste z para H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 24n₁ = 120x₂ = 36n₂ = 150

z =

11.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 6 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r.

n = 6

r =

12.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 5 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Preveja ŷ para x = 17.

n = 5x = 17

ŷ =

3Soluções

1.Estatística descritiva

Resposta: s = 16,66

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 214/7 = 30,57

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = (−19,57)² + 3,429² + (−4,571)² + (−20,57)² + 10,43² + 4,429² + 26,43² = 1666

Desvio-padrão

s = √(1666/6) = 16,66

Resposta

s = 16,66

2.Estatística descritiva

Resposta: P = 0,8849

Padronizar

z = −1,2

Tabela da normal padrão

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 1 − 0,1151 = 0,8849

Resposta

P = 0,8849

3.Probabilidades

Resposta: Var(X) = 0,9275

Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; somar uma constante não muda a dispersão.

Média

μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,25 + 3·0,1 = 1,15

Média dos quadrados

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,25 + 9·0,1 = 2,25

Variância

Var(X) = 2,25 − 1,15² = 0,9275

Resposta

Var(X) = 0,9275

4.Probabilidades

Resposta: σ_Y = 13,45

Dispersão de X

μ = 2,7, Var(X) = 1,81, σ_X = 1,345

Mudança linear

σ_Y = |10|·1,345 = 13,45

Resposta

σ_Y = 13,45

A média de fato se desloca: E(Y) = 10·2,7 + 5 = 32.

5.Distribuição normal

Resposta: z = 1,27

De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.

Área à esquerda de z

Φ(z) = 1 − 0,1020 = 0,8980

Leia a tabela de z ao contrário

Encontre 0,8980 dentro da tabela e leia z.

z = 1,27

Resposta

z = 1,27

6.Distribuição normal

Resposta: P = 0,9207

Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², portanto σ = √(σ_X² + σ_Y²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).

Distribuição da diferença

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,01414 mm

Padronizar

z = (0 − 0,02)/0,01414 = −1,41

Probabilidades

P = 1 − Φ(−1,41) = 0,9207

Resposta

P = 0,9207

7.Intervalos de confiança

Resposta: limite superior = −6,473 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Estimativa pontual

x̄₁ − x̄₂ = 91,5 − 101 = −9,5

Erro-padrão

SE = √(9²/40 + 6²/100) = 1,544

Margem de erro

E = 1,96·1,544 = 3,027

Intervalo

−9,5 ± 3,027 → [−12,53, −6,473]

Resposta

limite superior = −6,473 h

O intervalo não contém 0, então as médias diferem significativamente.

8.Intervalos de confiança

Resposta: n = 16590

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Resolver em ordem a n

n = 2,576²·0,5·0,5/0,01² = 16589

Arredondar para cima

n = 16590

Resposta

n = 16590

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: t = 1,197

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Variância combinada

s_p² = (4·8² + 6·7,5²)/10 = 59,35

s_p = 7,704

Erro-padrão

SE = 7,704·√(1/5 + 1/7) = 4,511

Estatística de teste

t = (63 − 57,6)/4,511 = 1,197

Resposta

t = 1,197

Com gl = 10, o valor crítico bilateral a 5% é 2,228; |t| é menor, então H₀ não é rejeitada.

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: z = −0,7856

Proporções amostrais

p̂₁ = 24/120 = 0,2

p̂₂ = 36/150 = 0,24

p̂ = 60/270 = 0,2222

Erro-padrão sob H₀

SE = √(0,2222·0,7778·(1/120 + 1/150)) = 0,05092

Estatística de teste

z = (0,2 − 0,24)/0,05092 = −0,7856

Resposta

z = −0,7856

|z| < 1,96, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).

11.Regressão linear e correlação

Resposta: r = 0,986

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Médias

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 335/6 = 55,83

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 339

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1689

Coeficiente de correlação

r = 339/√(70·1689) = 0,986

Resposta

r = 0,986

12.Regressão linear e correlação

Resposta: ŷ = 76,15

Médias

x̄ = 90/5 = 18

ȳ = 406/5 = 81,2

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 202

Reta de regressão

b = 202/40 = 5,05

a = 81,2 − 5,05·18 = −9,7

ŷ = −9,7 + 5,05·x

Previsão

ŷ = −9,7 + 5,05·17 = 76,15

Resposta

ŷ = 76,15

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