Introdução à Estatística: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

2Exercícios

1.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 16, 33, 17, 26, 45, 60.

n = 6

s =

2.Estatística descritivaDifícil

Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 50 e desvio-padrão 15. Que proporção P dos valores está abaixo de 68,75?

μ = 50σ = 15x = 68,75

P =

3.ProbabilidadesMédia

Um saco tem 3 bolas vermelhas e 3 azuis. Tira duas bolas sem repor a primeira. Qual é a probabilidade P de ambas serem vermelhas?

3 / 3

P =

4.ProbabilidadesDifícil

Um teste tem 10 perguntas de escolha múltipla. Uma estudante que responde ao acaso acerta cada uma com probabilidade 0,2, de forma independente. Qual é a probabilidade P de acertar exatamente 1?

n = 10p = 0,2k = 1

P =

5.Distribuição normalMédia

Arraste z para que a área sombreada sob a curva normal padrão, à direita de z, seja 0,0274. Encontre z com duas casas decimais.

A = 0,0274

z =

6.Distribuição normalDifícil

Os pontuações de QI têm distribuição normal com média 100 pontos e desvio padrão 15 pontos. Arraste o ponto de corte para que os 15% inferiores sombreados fiquem à esquerda dele. Encontre o ponto de corte x.

μ = 100 pontosσ = 15 pontos15%

x = pontos

7.Intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 16 itens tem média 33 e desvio-padrão s = 9,5. A população é aproximadamente normal. Calcule o limite inferior do intervalo de confiança de 95% para a média.

n = 16x̄ = 33s = 9,595%t(15) = 2,131

limite inferior =

8.Intervalos de confiançaDifícil

O desvio-padrão da população é 35. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 95% para a média tenha margem de erro de no máximo 0,5?

σ = 35E = 0,595%

n =

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 36 estudantes tem nota média 78,87 e desvio-padrão amostral 8. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 78,87s = 8n = 36

t =

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Uma amostra de 64 medições tem média 201,8. O desvio-padrão da população é 5. Calcule o limite inferior L do intervalo de confiança a 99 % para a média.

x̄ = 201,8σ = 5n = 6499%

L =

11.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 6 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. As suas somas são dadas. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r a partir dessas somas.

n = 6Σx = 27Σy = 322Σx² = 139Σy² = 17482Σxy = 1503

r =

12.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 5 observações pareadas de x = idade do carro em anos e y = preço em k€. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Para que valor x a reta prevê ŷ = 24?

n = 5ŷ = 24

x =

3Soluções

1.Estatística descritiva

Resposta: s = 17,13

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 197/6 = 32,83

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = (−16,83)² + 0,1667² + (−15,83)² + (−6,833)² + 12,17² + 27,17² = 1467

Desvio-padrão

s = √(1467/5) = 17,13

Resposta

s = 17,13

2.Estatística descritiva

Resposta: P = 0,8944

Padronizar

z = 1,25

Tabela da normal padrão

Φ(1,25) = 0,8944

P = 0,8944

Resposta

P = 0,8944

3.Probabilidades

Resposta: P = 0,2

Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Primeira e segunda tiragem

P = 3/6 · 2/5 = 6/30 = 0,2

Resposta

P = 0,2

4.Probabilidades

Resposta: P = 0,2684

Fórmula binomial

P(X = 1) = 10·0,2¹·0,8⁹ = 10·0,2·0,1342 = 0,2684

Resposta

P = 0,2684

5.Distribuição normal

Resposta: z = 1,92

De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.

Área à esquerda de z

Φ(z) = 1 − 0,0274 = 0,9726

Leia a tabela de z ao contrário

Encontre 0,9726 dentro da tabela e leia z.

z = 1,92

Resposta

z = 1,92

6.Distribuição normal

Resposta: x = 84,4 pontos

Área à esquerda

Φ(z) = 0,15

z da tabela

z ≈ −1,04

De volta às unidades originais

x = 100 − 1,04·15 = 84,4 pontos

Resposta

x = 84,4 pontos

7.Intervalos de confiança

Resposta: limite inferior = 27,94

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Valor crítico

df = n − 1 = 15, t = 2,131

Margem de erro

E = 2,131·9,5/√16 = 5,061

Intervalo

33 ± 5,061 → [27,94, 38,06]

Resposta

limite inferior = 27,94

8.Intervalos de confiança

Resposta: n = 18824

Resolver em ordem a n

n = (1,96·35/0,5)² = 18824

Arredondar para cima

O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.

n = 18824

Resposta

n = 18824

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: t = 2,903

Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).

Erro-padrão

SE = 8/√36 = 8/6 = 1,333

Estatística de teste

t = (78,87 − 75)/1,333 = 2,903

Resposta

t = 2,903

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03, então H₀ é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: L = 200,2

Margem de erro

E = 2,576·5/√64 = 1,61

Limite do intervalo

L = 201,8 − 1,61 = 200,2

Resposta

L = 200,2

11.Regressão linear e correlação

Resposta: r = 0,9097

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Somas centradas

S_xy = 1503 − 27·322/6 = 54

S_xx = 139 − 27²/6 = 17,5

S_yy = 17482 − 322²/6 = 201,3

Coeficiente de correlação

r = 54/√(17,5·201,3) = 0,9097

Resposta

r = 0,9097

12.Regressão linear e correlação

Resposta: x = 4,385

Médias

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 129/5 = 25,8

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −13

Reta de regressão

b = −13/10 = −1,3

a = 25,8 − (−1,3)·3 = 29,7

ŷ = 29,7 − 1,3·x

Resolver para x

x = (24 − 29,7)/(−1,3) = 4,385

Resposta

x = 4,385

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