Introdução à Estatística: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Estatística descritiva

Média
x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z
z = (x − μ)/σ
Distribuição normal
68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar
P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Distribuição normal

Pontuação z
z = (x − μ)/σ
Abaixo de x
P(X < x) = Φ(z)
Acima de x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre
Φ(z2) − Φ(z1)
Percentil
x = μ + z·σ

Método

  1. Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
  2. Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
  3. Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
  4. Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido
x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra
n = (z·σ/E)², rounded up

Método

  1. Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
  2. Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
  3. Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
  4. Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Teste t para uma média
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%
rejeite H0 se |z| > 1,96
Intervalo de confiança
x̄ ± z·σ/√n

Método

  1. Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
  2. Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
  3. Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
  4. Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação
b = Sxy/Sxx
Intercepto
a = ȳ − b·x̄
Correlação
r = Sxy/√(SxxSyy)
Resíduo
e = y − ŷ

2Exercícios

1.Estatística descritivaMédia
253035404550

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 23, 36, 38, 53, 47.

n = 5
s =
2.Estatística descritivaDifícil
z −2−1012

Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 100 e desvio-padrão 12. Que proporção P dos valores está abaixo de 94?

μ = 100σ = 12x = 94
P =
3.ProbabilidadesMédia
P(pelo menos um seis) = ??1?2P(seis) = 1/6 em cada lançamento

Lança-se um dado equilibrado 2 vezes. Qual é a probabilidade P de sair pelo menos um seis?

n = 2
P =
4.ProbabilidadesDifícil
n = 8, p = 0,4: P(X ≤ 1) = ?k012345678

Testam-se 8 componentes e cada um avaria com probabilidade 0,4, de forma independente. Qual é a probabilidade P de avariar no máximo um?

n = 8p = 0,4
P =
5.Distribuição normalMédia
−3−2−10123zárea sombreada à direita de z = 0,2946

Arraste z para que a área sombreada sob a curva normal padrão, à direita de z, seja 0,2946. Encontre z com duas casas decimais.

A = 0,2946
z =
6.Distribuição normalDifícil
10 g0X − Y?

A massa X de um produto da linha 1 e Y da linha 2 são independentes e normais: X tem média 500 g e desvio padrão 8 g, Y tem média 490 g e desvio padrão 6 g. Encontre a probabilidade P de X ser maior que Y. Arredonde z para duas casas decimais.

μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
7.Intervalos de confiançaMédia
n = 9, s = 15,5LUx̄ = 26,5E = ?99%

Uma amostra de 9 itens tem média 26,5 e desvio-padrão s = 15,5. A população é aproximadamente normal. Calcule a margem de erro E de um intervalo de confiança de 99% para a média.

n = 9x̄ = 26,5s = 15,599%t(8) = 3,355
E =
8.Intervalos de confiançaDifícil
σ = 15, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 1,590%

O desvio-padrão da população é 15. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 90% para a média tenha margem de erro de no máximo 1,5?

σ = 15E = 1,590%
n =
9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
t −2,13102,131

Uma amostra de 16 estudantes tem nota média 108,5 e desvio-padrão amostral 20. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 108,5s = 20n = 16
t =
10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
σ = 20, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 199%

Que tamanho deve ter uma amostra para que o intervalo de confiança a 99 % para uma média tenha uma margem de erro de no máximo 1? O desvio-padrão é 20. Calcule o menor tamanho de amostra n.

σ = 20E = 199%
n =
11.Regressão linear e correlaçãoMédia
xy143241346454553656xy24640455055

A tabela dá 6 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. As suas somas são dadas. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r a partir dessas somas.

n = 6Σx = 21Σy = 293Σx² = 91Σy² = 14507Σxy = 1080
r =
12.Regressão linear e correlaçãoDifícil
xy125221317412510xy2410152025x = 1,5

A tabela dá 5 observações pareadas de x = idade do carro em anos e y = preço em k€. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. É feita uma nova observação (1,5, 26). Encontre o seu resíduo e = y − ŷ.

n = 5(1,5, 26)
e =

3Soluções

1.Estatística descritiva

Resposta: s = 11,46

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 197/5 = 39,4

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = (−16,4)² + (−3,4)² + (−1,4)² + 13,6² + 7,6² = 525,2

Desvio-padrão

s = √(525,2/4) = 11,46

Resposta

s = 11,46
2.Estatística descritiva

Resposta: P = 0,3085

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Padronizar

z = −0,5

Tabela da normal padrão

Φ(−0,5) = 0,3085
P = 0,3085

Resposta

P = 0,3085
3.Probabilidades

Resposta: P = 0,3056

Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complementar

P(nenhum seis) = (5/6)2 = 0,6944
P = 1 − 0,6944 = 0,3056

Resposta

P = 0,3056
4.Probabilidades

Resposta: P = 0,1064

Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zero e uma avaria

P(X = 0) = 0,68 = 0,0168
P(X = 1) = 8·0,4·0,67 = 0,08958

Some

P = 0,0168 + 0,08958 = 0,1064

Resposta

P = 0,1064
5.Distribuição normal

Resposta: z = 0,54

De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.

Área à esquerda de z

Φ(z) = 1 − 0,2946 = 0,7054

Leia a tabela de z ao contrário

Encontre 0,7054 dentro da tabela e leia z.

z = 0,54

Resposta

z = 0,54
6.Distribuição normal

Resposta: P = 0,8413

Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μX ± μY. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σX² + σY², portanto σ = √(σX² + σY²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).

Distribuição da diferença

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Padronizar

z = (0 − 10)/10 = −1

Probabilidades

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Resposta

P = 0,8413
7.Intervalos de confiança

Resposta: E = 17,33

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Valor crítico

df = n − 1 = 8, t = 3,355

Margem de erro

E = 3,355·15,5/√9 = 17,33

Resposta

E = 17,33
8.Intervalos de confiança

Resposta: n = 271

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Resolver em ordem a n

n = (1,645·15/1,5)² = 270,6

Arredondar para cima

O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.

n = 271

Resposta

n = 271
9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: t = 1,7

Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).

Erro-padrão

SE = 20/√16 = 20/4 = 5

Estatística de teste

t = (108,5 − 100)/5 = 1,7

Resposta

t = 1,7
t0,025; df = 15 = 2,131

|t| < 2.131, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: n = 2655

Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).

Resolver em ordem a n

n = (2,576·20/1)² = 2654

Arredondar para cima

n = 2655

Resposta

n = 2655
11.Regressão linear e correlação

Resposta: r = 0,9239

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Somas centradas

Sxy = 1080 − 21·293/6 = 54,5
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 14507 − 293²/6 = 198,8

Coeficiente de correlação

r = 54,5/√(17,5·198,8) = 0,9239

Resposta

r = 0,9239
12.Regressão linear e correlação

Resposta: e = 3,15

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Médias

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 85/5 = 17

Somas de quadrados e de produtos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −39

Reta de regressão

b = −39/10 = −3,9
a = 17 − (−3,9)·3 = 28,7
ŷ = 28,7 − 3,9·x

Valor previsto

ŷ = 28,7 + (−3,9)·1,5 = 22,85

Resíduo

e = 26 − 22,85 = 3,15

Resposta

e = 3,15

O ponto está acima da reta.

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