Introdução à Estatística: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

2Exercícios

1.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 48, 26, 31, 43, 16, 26, 11.

n = 7

s =

2.Estatística descritivaDifícil

As notas de um exame seguem uma distribuição normal com média 100 e desvio-padrão 20. Calcule a pontuação z z de uma nota de 125.

μ = 100σ = 20x = 125

z =

3.ProbabilidadesMédia

Para a distribuição mostrada, encontre o desvio padrão σ de X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,1, 0,3, 0,3, 0,3

σ =

4.ProbabilidadesDifícil

X tem a distribuição mostrada e Y = −2X + 1. Encontre o desvio padrão σ_Y de Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,3, 0,25, 0,15, 0,15Y = −2X + 1

σ_Y =

5.Distribuição normalMédia

As durações de baterias seguem uma distribuição normal com média 500 h e desvio-padrão 40 h. Que fração está entre 500 e 540 h? Dê P em forma decimal.

μ = 500σ = 40x₁ = 500x₂ = 540

P =

6.Distribuição normalDifícil

As notas de prova seguem uma distribuição normal com média 65 pontos e desvio-padrão 10 pontos. Calcule o valor x abaixo do qual estão 97,5% delas (o percentil 97,5).

μ = 65σ = 10P = 97,5%

x = pontos

7.Intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 15 itens tem média 57 e desvio-padrão s = 6,5. A população é aproximadamente normal. Calcule a margem de erro E de um intervalo de confiança de 99% para a média.

n = 15x̄ = 57s = 6,599%t(14) = 2,977

E =

8.Intervalos de confiançaDifícil

O desvio-padrão da população é 23. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 99% para a média tenha margem de erro de no máximo 1,5?

σ = 23E = 1,599%

n =

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

Afirma-se que a média de uma população é 500; o desvio-padrão da população é conhecido e vale 6. Uma amostra aleatória de 144 observações tem média 498,86. Teste H₀: μ = 500 contra H₁: μ ≠ 500. Encontre o valor p p.

μ₀ = 500σ = 6n = 144x̄ = 498,86H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Um teste z unilateral de H₀: μ = 200 contra H₁: μ > 200 é feito com α = 0,05 e uma amostra de 64; o desvio-padrão é conhecido e vale 16. Na realidade a média é 202,8. Encontre a probabilidade de um erro do tipo II β em porcentagem.

μ₀ = 200μ = 202,8σ = 16n = 64α = 0,05

β = %

11.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 5 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r.

n = 5

r =

12.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 5 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. É feita uma nova observação (4, 63). Encontre o seu resíduo e = y − ŷ.

n = 5(4, 63)

e =

3Soluções

1.Estatística descritiva

Resposta: s = 13,36

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 201/7 = 28,71

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = 19,29² + (−2,714)² + 2,286² + 14,29² + (−12,71)² + (−2,714)² + (−17,71)² = 1071

Desvio-padrão

s = √(1071/6) = 13,36

Resposta

s = 13,36

2.Estatística descritiva

Resposta: z = 1,25

Padronizar

z = (125 − 100)/20 = 1,25

Resposta

z = 1,25

3.Probabilidades

Resposta: σ = 0,9798

Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; somar uma constante não muda a dispersão.

Média

μ = 1·0,1 + 2·0,3 + 3·0,3 + 4·0,3 = 2,8

Média dos quadrados

E(X²) = 1·0,1 + 4·0,3 + 9·0,3 + 16·0,3 = 8,8

Variância

Var(X) = 8,8 − 2,8² = 0,96

σ = √0,96 = 0,9798

Resposta

σ = 0,9798

4.Probabilidades

Resposta: σ_Y = 2,551

Dispersão de X

μ = 1,85, Var(X) = 1,627, σ_X = 1,276

Mudança linear

σ_Y = |−2|·1,276 = 2,551

Resposta

σ_Y = 2,551

A média de fato se desloca: E(Y) = −2·1,85 + 1 = −2,7.

5.Distribuição normal

Resposta: P = 0,3413

Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.

Pontuações z

z₁ = (500 − 500)/40 = 0

z₂ = (540 − 500)/40 = 1

Área entre os valores

P = Φ(1) − Φ(0) = 0,8413 − 0,5 = 0,3413

Resposta

P = 0,3413

6.Distribuição normal

Resposta: x = 84,6 pontos

z do percentil

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

De volta a x

x = 65 + 1,96·10 = 84,6 pontos

Resposta

x = 84,6 pontos

7.Intervalos de confiança

Resposta: E = 4,996

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Valor crítico

df = n − 1 = 14, t = 2,977

Margem de erro

E = 2,977·6,5/√15 = 4,996

Resposta

E = 4,996

8.Intervalos de confiança

Resposta: n = 1561

Resolver em ordem a n

n = (2,576·23/1,5)² = 1560

Arredondar para cima

O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.

n = 1561

Resposta

n = 1561

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: p = 0,02261

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Estatística de teste

SE = σ/√n = 6/√144 = 0,5

z = (498,86 − 500)/0,5 = −2,28

Área da cauda

Φ(2,28) = 0,9887

1 − Φ(2,28) = 0,0113

Valor p

p = 2·0,0113 = 0,02261

Resposta

p = 0,02261

p ≤ 0,05, então H₀ é rejeitada ao nível de 5%.

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: β = 59,68 %

Poder de um teste: poder = 1 − β é a probabilidade de rejeitar H₀ quando ela é falsa. Encontre o limite x̄c a partir de μ₀ e z_α, depois calcule a probabilidade de cair além de x̄c usando a média verdadeira: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Média amostral crítica

SE = 16/√64 = 2

x̄_c = 200 + 1,645·2 = 203,3

z sob a média verdadeira

z = (203,3 − 202,8)/2 = 0,245

Erro do tipo II

poder = P(Z > 0,245) = 40,32%

β = 100% − 40,32% = 59,68%

Resposta

β = 59,68%

11.Regressão linear e correlação

Resposta: r = 0,8553

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Médias

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 325/5 = 65

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 47

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 302

Coeficiente de correlação

r = 47/√(10·302) = 0,8553

Resposta

r = 0,8553

12.Regressão linear e correlação

Resposta: e = 3,3

Médias

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 320/5 = 64

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 172

Reta de regressão

b = 172/40 = 4,3

a = 64 − 4,3·5 = 42,5

ŷ = 42,5 + 4,3·x

Valor previsto

ŷ = 42,5 + 4,3·4 = 59,7

Resíduo

e = 63 − 59,7 = 3,3

Resposta

e = 3,3

O ponto está acima da reta.

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