Introdução à Estatística: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

2Exercícios

1.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 44, 32, 26, 54, 32, 50.

n = 6

s =

2.Estatística descritivaDifícil

Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 100 e desvio-padrão 5. Que proporção P dos valores está acima de 106,3?

μ = 100σ = 5x = 106,3

P =

3.ProbabilidadesMédia

Para a distribuição mostrada, encontre a variância Var(X) de X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,2, 0,3, 0,35, 0,15

Var(X) =

4.ProbabilidadesDifícil

X tem a distribuição mostrada e Y = 5X + 10. Encontre o desvio padrão σ_Y de Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35Y = 5X + 10

σ_Y =

5.Distribuição normalMédia

X é normal com média 60 s e desvio padrão 5 s; Y é independente e normal com média 45 s e desvio padrão 4 s. Encontre a probabilidade P de X + Y ser maior que 108,2 s. Arredonde z para duas casas decimais.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 108,2 s

P =

6.Distribuição normalDifícil

Os diâmetros D dos furos são normais com média 25,05 mm e desvio padrão 0,015 mm. Os diâmetros d dos eixos são independentes e normais com média 25 mm e desvio padrão 0,02 mm. Um eixo escolhido ao acaso encaixa quando D − d > 0. Encontre a probabilidade P de ele encaixar. Arredonde z para duas casas decimais.

furo: μ = 25,05 mm, σ = 0,015 mmeixo: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

7.Intervalos de confiançaMédia

A duração da bateria de dois modelos de celular é comparada. Modelo 1: 60 celulares, média 101,5 h, desvio-padrão conhecido 13 h. Modelo 2: 40 celulares, média 108,5 h, desvio-padrão conhecido 18 h. Encontre o limite superior do intervalo de confiança de 90% para μ₁ − μ₂.

n₁ = 60x̄₁ = 101,5 hσ₁ = 13 hn₂ = 40x̄₂ = 108,5 hσ₂ = 18 h90%

limite superior = h

8.Intervalos de confiançaDifícil

Um estudo piloto sugere que cerca de 0,1 dos produtos são defeituosos. Quantos produtos n devem ser inspecionados para que um intervalo de confiança de 99% para a proporção tenha margem de erro de no máximo 0,01?

p ≈ 0,1E = 0,0199%

n =

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 100 estudantes tem nota média 202,5 e desvio-padrão amostral 12. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 202,5s = 12n = 100

t =

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Que tamanho deve ter uma amostra para que o intervalo de confiança a 90 % para uma média tenha uma margem de erro de no máximo 1? O desvio-padrão é 12. Calcule o menor tamanho de amostra n.

σ = 12E = 190%

n =

11.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 5 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Encontre o coeficiente de determinação r² da reta de mínimos quadrados.

n = 5

r² =

12.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 5 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Preveja ŷ para x = 22.

n = 5x = 22

ŷ =

3Soluções

1.Estatística descritiva

Resposta: s = 11,27

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 238/6 = 39,67

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = 4,333² + (−7,667)² + (−13,67)² + 14,33² + (−7,667)² + 10,33² = 635,3

Desvio-padrão

s = √(635,3/5) = 11,27

Resposta

s = 11,27

2.Estatística descritiva

Resposta: P = 0,1056

Padronizar

z = 1,25

Tabela da normal padrão

Φ(1,25) = 0,8944

P = 1 − 0,8944 = 0,1056

Resposta

P = 0,1056

3.Probabilidades

Resposta: Var(X) = 3,79

Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; somar uma constante não muda a dispersão.

Média

μ = 0·0,2 + 2·0,3 + 4·0,35 + 6·0,15 = 2,9

Média dos quadrados

E(X²) = 0·0,2 + 4·0,3 + 16·0,35 + 36·0,15 = 12,2

Variância

Var(X) = 12,2 − 2,9² = 3,79

Resposta

Var(X) = 3,79

4.Probabilidades

Resposta: σ_Y = 4,023

Dispersão de X

μ = 1,05, Var(X) = 0,6475, σ_X = 0,8047

Mudança linear

σ_Y = |5|·0,8047 = 4,023

Resposta

σ_Y = 4,023

A média de fato se desloca: E(Y) = 5·1,05 + 10 = 15,25.

5.Distribuição normal

Resposta: P = 0,3085

Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², portanto σ = √(σ_X² + σ_Y²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).

Distribuição da soma

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Padronizar

z = (108,2 − 105)/6,403 = 0,5

Cauda superior

P = 1 − Φ(0,5) = 1 − 0,6915 = 0,3085

Resposta

P = 0,3085

6.Distribuição normal

Resposta: P = 0,9772

Distribuição da diferença

μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,025 mm

Padronizar

z = (0 − 0,05)/0,025 = −2

Probabilidades

P = 1 − Φ(−2) = 0,9772

Resposta

P = 0,9772

7.Intervalos de confiança

Resposta: limite superior = −1,565 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Estimativa pontual

x̄₁ − x̄₂ = 101,5 − 108,5 = −7

Erro-padrão

SE = √(13²/60 + 18²/40) = 3,304

Margem de erro

E = 1,645·3,304 = 5,435

Intervalo

−7 ± 5,435 → [−12,44, −1,565]

Resposta

limite superior = −1,565 h

O intervalo não contém 0, então as médias diferem significativamente.

8.Intervalos de confiança

Resposta: n = 5973

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Resolver em ordem a n

n = 2,576²·0,1·0,9/0,01² = 5972

Arredondar para cima

n = 5973

Resposta

n = 5973

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: t = 2,083

Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).

Erro-padrão

SE = 12/√100 = 12/10 = 1,2

Estatística de teste

t = (202,5 − 200)/1,2 = 2,083

Resposta

t = 2,083

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, então H₀ é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: n = 390

Resolver em ordem a n

n = (1,645·12/1)² = 389,7

Arredondar para cima

n = 390

Resposta

n = 390

11.Regressão linear e correlação

Resposta: r² = 0,9274

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Médias

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 473/5 = 94,6

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 190

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 973,2

Coeficiente de determinação

r² = 190²/(40·973,2) = 0,9274

Resposta

r² = 0,9274

Cerca de 92,74% da variação de y é explicada pela reta.

12.Regressão linear e correlação

Resposta: ŷ = 119,2

Médias

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 562/5 = 112,4

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 272

Reta de regressão

b = 272/40 = 6,8

a = 112,4 − 6,8·21 = −30,4

ŷ = −30,4 + 6,8·x

Previsão

ŷ = −30,4 + 6,8·22 = 119,2

Resposta

ŷ = 119,2

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