Estatística descritiva
- Média
- x̄ = Σx/n
- Desvio-padrão amostral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor do meio dos dados ordenados
- Pontuação z
- z = (x − μ)/σ
- Distribuição normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introdução à Estatística: pacote de revisão
Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.
1Fórmulas e métodos
Probabilidades
- Complementar
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regra da adição
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Eventos independentes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidade condicional
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribuição normal
- Pontuação z
- z = (x − μ)/σ
- Abaixo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Acima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
- Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
- Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
- Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.
Intervalos de confiança
- σ conhecido
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconhecido
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamanho da amostra
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
- Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
- Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Testes de hipóteses e intervalos de confiança
- Teste z para uma média
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Teste t para uma média
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral a 5%
- rejeite H0 se |z| > 1,96
- Intervalo de confiança
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
- Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
- Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
- Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.
Regressão linear e correlação
- Somas de quadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Inclinação
- b = Sxy/Sxx
- Intercepto
- a = ȳ − b·x̄
- Correlação
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Resíduo
- e = y − ŷ
2Exercícios
1.Estatística descritivaMédia
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 56, 47, 34, 32, 25, 53, 11.
n = 7
s =
2.Estatística descritivaDifícil
Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 500 e desvio-padrão 50. Que proporção P dos valores está acima de 460?
μ = 500σ = 50x = 460
P =
3.ProbabilidadesMédia
De quantas maneiras N se pode escolher uma comissão de 4 pessoas num grupo de 6? A ordem não interessa.
n = 6k = 4
N =
4.ProbabilidadesDifícil
Testam-se 10 componentes e cada um avaria com probabilidade 0,2, de forma independente. Qual é a probabilidade P de avariar no máximo um?
n = 10p = 0,2
P =
5.Distribuição normalMédia
Arraste z para que a área sombreada sob a curva normal padrão, à direita de z, seja 0,7704. Encontre z com duas casas decimais.
A = 0,7704
z =
6.Distribuição normalDifícil
Os diâmetros D dos furos são normais com média 25,05 mm e desvio padrão 0,015 mm. Os diâmetros d dos eixos são independentes e normais com média 25 mm e desvio padrão 0,015 mm. Um eixo escolhido ao acaso encaixa quando D − d > 0. Encontre a probabilidade P de ele encaixar. Arredonde z para duas casas decimais.
furo: μ = 25,05 mm, σ = 0,015 mmeixo: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
7.Intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 8 itens tem média 60,5 e desvio-padrão s = 2. A população é aproximadamente normal. Calcule a margem de erro E de um intervalo de confiança de 95% para a média.
n = 8x̄ = 60,5s = 295%t(7) = 2,365
E =
8.Intervalos de confiançaDifícil
O desvio-padrão da população é 40. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 90% para a média tenha margem de erro de no máximo 1,5?
σ = 40E = 1,590%
n =
9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Duas linhas de produção fabricam a mesma peça. Linha 1: uma amostra de 40 peças tem comprimento médio de 91,5 mm, e o desvio-padrão conhecido da linha é 6 mm. Linha 2: uma amostra de 60 peças tem média de 93,2 mm, desvio-padrão conhecido de 15 mm. Encontre a estatística de teste z para H₀: μ₁ = μ₂, tomando a diferença como x̄₁ − x̄₂ (linha 1 menos linha 2).
n₁ = 40x̄₁ = 91,5 mmσ₁ = 6 mmn₂ = 60x̄₂ = 93,2 mmσ₂ = 15 mm
z =
10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Em um ensaio, 50 de 100 pacientes com o tratamento A se recuperam, e 84 de 200 pacientes com o tratamento B. Usando a proporção combinada, encontre a estatística de teste z para H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 50n₁ = 100x₂ = 84n₂ = 200
z =
11.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 6 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r.
n = 6
r =
12.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 5 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. É feita uma nova observação (2,5, 51). Encontre o seu resíduo e = y − ŷ.
n = 5(2,5, 51)
e =
3Soluções
1.Estatística descritiva
Resposta: s = 16,18
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Média
x̄ = 258/7 = 36,86
Desvios ao quadrado
Σ(x − x̄)² = 19,14² + 10,14² + (−2,857)² + (−4,857)² + (−11,86)² + 16,14² + (−25,86)² = 1571
Desvio-padrão
s = √(1571/6) = 16,18
Resposta
s = 16,18
2.Estatística descritiva
Resposta: P = 0,7881
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = −0,8
Tabela da normal padrão
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 1 − 0,2119 = 0,7881
Resposta
P = 0,7881
3.Probabilidades
Resposta: N = 15
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinações
C(6, 4) = (6·5·4·3)/(4·3·2·1) = 15
Resposta
N = 15
4.Probabilidades
Resposta: P = 0,3758
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero e uma avaria
P(X = 0) = 0,810 = 0,1074
P(X = 1) = 10·0,2·0,89 = 0,2684
Some
P = 0,1074 + 0,2684 = 0,3758
Resposta
P = 0,3758
5.Distribuição normal
Resposta: z = −0,74
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda de z
Φ(z) = 1 − 0,7704 = 0,2296
Leia a tabela de z ao contrário
Encontre 0,2296 dentro da tabela e leia z.
z = −0,74
Resposta
z = −0,74
6.Distribuição normal
Resposta: P = 0,9909
Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μX ± μY. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σX² + σY², portanto σ = √(σX² + σY²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).
Distribuição da diferença
μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,02121 mm
Padronizar
z = (0 − 0,05)/0,02121 = −2,36
Probabilidades
P = 1 − Φ(−2,36) = 0,9909
Resposta
P = 0,9909
7.Intervalos de confiança
Resposta: E = 1,672
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Valor crítico
df = n − 1 = 7, t = 2,365
Margem de erro
E = 2,365·2/√8 = 1,672
Resposta
E = 1,672
8.Intervalos de confiança
Resposta: n = 1925
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Resolver em ordem a n
n = (1,645·40/1,5)² = 1924
Arredondar para cima
O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.
n = 1925
Resposta
n = 1925
9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: z = −0,7884
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Erro-padrão da diferença
SE = √(6²/40 + 15²/60) = √4,65 = 2,156
Estatística de teste
z = (91,5 − 93,2)/2,156 = −0,7884
Resposta
z = −0,7884
|z| < 1,96, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: z = 1,314
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporções amostrais
p̂₁ = 50/100 = 0,5
p̂₂ = 84/200 = 0,42
p̂ = 134/300 = 0,4467
Erro-padrão sob H₀
SE = √(0,4467·0,5533·(1/100 + 1/200)) = 0,06089
Estatística de teste
z = (0,5 − 0,42)/0,06089 = 1,314
Resposta
z = 1,314
|z| < 1,96, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
11.Regressão linear e correlação
Resposta: r = 0,9923
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 141/6 = 23,5
ȳ = 484/6 = 80,67
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 549
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1943
Coeficiente de correlação
r = 549/√(157,5·1943) = 0,9923
Resposta
r = 0,9923
12.Regressão linear e correlação
Resposta: e = −2,35
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 308/5 = 61,6
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 55
Reta de regressão
b = 55/10 = 5,5
a = 61,6 − 5,5·4 = 39,6
ŷ = 39,6 + 5,5·x
Valor previsto
ŷ = 39,6 + 5,5·2,5 = 53,35
Resíduo
e = 51 − 53,35 = −2,35
Resposta
e = −2,35
O ponto está abaixo da reta.
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