Introdução à Estatística: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

2Exercícios

1.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 39, 23, 36, 49, 35, 20, 41.

n = 7

s =

2.Estatística descritivaDifícil

Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 100 e desvio-padrão 5. Que proporção P dos valores está acima de 107,5?

μ = 100σ = 5x = 107,5

P =

3.ProbabilidadesMédia

Para a distribuição mostrada, encontre o desvio padrão σ de X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,15, 0,3, 0,2

σ =

4.ProbabilidadesDifícil

X tem a distribuição mostrada e Y = 2X − 3. Encontre o desvio padrão σ_Y de Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,15, 0,3, 0,2, 0,35Y = 2X − 3

σ_Y =

5.Distribuição normalMédia

Arraste z para que a área sombreada entre −z e z sob a curva normal padrão seja 0,5035. Encontre z com duas casas decimais.

A = 0,5035

z =

6.Distribuição normalDifícil

Os notas de prova têm distribuição normal com média 65 pontos e desvio padrão 10 pontos. Arraste o ponto de corte para que os 25% inferiores sombreados fiquem à esquerda dele. Encontre o ponto de corte x.

μ = 65 pontosσ = 10 pontos25%

x = pontos

7.Intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 6 itens tem média 62,5 e desvio-padrão s = 18,5. A população é aproximadamente normal. Calcule o limite superior do intervalo de confiança de 99% para a média.

n = 6x̄ = 62,5s = 18,599%t(5) = 4,032

limite superior =

8.Intervalos de confiançaDifícil

O desvio-padrão da população é 19. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 95% para a média tenha margem de erro de no máximo 2?

σ = 19E = 295%

n =

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

13 funcionários fazem um teste de digitação antes e depois de um curso de treinamento. Para cada pessoa é registrada a diferença d = depois − antes (palavras por minuto). A diferença média é 3,22 e o desvio-padrão das diferenças é 4. Encontre a estatística do teste pareado t para H₀: μ_d = 0.

n = 13d̄ = 3,22s_d = 4

t =

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Uma amostra de 81 medições tem média 74,8. O desvio-padrão da população é 4. Calcule o limite inferior L do intervalo de confiança a 95 % para a média.

x̄ = 74,8σ = 4n = 8195%

L =

11.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 5 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. As suas somas são dadas. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r a partir dessas somas.

n = 5Σx = 20Σy = 308Σx² = 90Σy² = 19234Σxy = 1282

r =

12.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 5 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Para que valor x a reta prevê ŷ = 61?

n = 5ŷ = 61

x =

3Soluções

1.Estatística descritiva

Resposta: s = 10,14

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 243/7 = 34,71

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = 4,286² + (−11,71)² + 1,286² + 14,29² + 0,2857² + (−14,71)² + 6,286² = 617,4

Desvio-padrão

s = √(617,4/6) = 10,14

Resposta

s = 10,14

2.Estatística descritiva

Resposta: P = 0,06681

Padronizar

z = 1,5

Tabela da normal padrão

Φ(1,5) = 0,9332

P = 1 − 0,9332 = 0,06681

Resposta

P = 0,06681

3.Probabilidades

Resposta: σ = 1,152

Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; somar uma constante não muda a dispersão.

Média

μ = 1·0,35 + 2·0,15 + 3·0,3 + 4·0,2 = 2,35

Média dos quadrados

E(X²) = 1·0,35 + 4·0,15 + 9·0,3 + 16·0,2 = 6,85

Variância

Var(X) = 6,85 − 2,35² = 1,328

σ = √1,328 = 1,152

Resposta

σ = 1,152

4.Probabilidades

Resposta: σ_Y = 21,79

Dispersão de X

μ = 27,5, Var(X) = 118,8, σ_X = 10,9

Mudança linear

σ_Y = |2|·10,9 = 21,79

Resposta

σ_Y = 21,79

A média de fato se desloca: E(Y) = 2·27,5 − 3 = 52.

5.Distribuição normal

Resposta: z = 0,68

De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.

Área à esquerda de z

Φ(z) = (1 + 0,5035)/2 = 0,7517

Leia a tabela de z ao contrário

Encontre 0,7517 dentro da tabela e leia z.

z = 0,68

Resposta

z = 0,68

6.Distribuição normal

Resposta: x = 58,3 pontos

Área à esquerda

Φ(z) = 0,25

z da tabela

z ≈ −0,67

De volta às unidades originais

x = 65 − 0,67·10 = 58,3 pontos

Resposta

x = 58,3 pontos

7.Intervalos de confiança

Resposta: limite superior = 92,95

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Valor crítico

df = n − 1 = 5, t = 4,032

Margem de erro

E = 4,032·18,5/√6 = 30,45

Intervalo

62,5 ± 30,45 → [32,05, 92,95]

Resposta

limite superior = 92,95

8.Intervalos de confiança

Resposta: n = 347

Resolver em ordem a n

n = (1,96·19/2)² = 346,7

Arredondar para cima

O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.

n = 347

Resposta

n = 347

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: t = 2,902

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Erro-padrão da diferença média

SE = 4/√13 = 1,109

Estatística de teste

t = 3,22/1,109 = 2,902

Resposta

t = 2,902

Com gl = 12, o valor crítico bilateral a 5% é 2,179; |t| é maior, então H₀ é rejeitada.

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: L = 73,93

Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).

Margem de erro

E = 1,96·4/√81 = 0,8711

Limite do intervalo

L = 74,8 − 0,8711 = 73,93

Resposta

L = 73,93

11.Regressão linear e correlação

Resposta: r = 0,9783

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Somas centradas

S_xy = 1282 − 20·308/5 = 50

S_xx = 90 − 20²/5 = 10

S_yy = 19234 − 308²/5 = 261,2

Coeficiente de correlação

r = 50/√(10·261,2) = 0,9783

Resposta

r = 0,9783

12.Regressão linear e correlação

Resposta: x = 24,37

Médias

x̄ = 115/5 = 23

ȳ = 286/5 = 57,2

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 249

Reta de regressão

b = 249/90 = 2,767

a = 57,2 − 2,767·23 = −6,433

ŷ = −6,433 + 2,767·x

Resolver para x

x = (61 − (−6,433))/2,767 = 24,37

Resposta

x = 24,37

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