Introdução à Estatística: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Estatística descritiva

Média
x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z
z = (x − μ)/σ
Distribuição normal
68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar
P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Distribuição normal

Pontuação z
z = (x − μ)/σ
Abaixo de x
P(X < x) = Φ(z)
Acima de x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre
Φ(z2) − Φ(z1)
Percentil
x = μ + z·σ

Método

  1. Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
  2. Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
  3. Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
  4. Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido
x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra
n = (z·σ/E)², rounded up

Método

  1. Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
  2. Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
  3. Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
  4. Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Teste t para uma média
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%
rejeite H0 se |z| > 1,96
Intervalo de confiança
x̄ ± z·σ/√n

Método

  1. Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
  2. Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
  3. Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
  4. Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação
b = Sxy/Sxx
Intercepto
a = ȳ − b·x̄
Correlação
r = Sxy/√(SxxSyy)
Resíduo
e = y − ŷ

2Exercícios

1.Estatística descritivaMédia
24262830323436384042

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 40, 36, 43, 24, 34.

n = 5
s =
2.Estatística descritivaDifícil
z −2−1012

Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 60 e desvio-padrão 12. Que proporção P dos valores está abaixo de 42?

μ = 60σ = 12x = 42
P =
3.ProbabilidadesMédia
P(pelo menos um seis) = ??1?2?3?4P(seis) = 1/6 em cada lançamento

Lança-se um dado equilibrado 4 vezes. Qual é a probabilidade P de sair pelo menos um seis?

n = 4
P =
4.ProbabilidadesDifícil
n = 10, p = 0,5: P(X ≤ 1) = ?k012345678910

Testam-se 10 componentes e cada um avaria com probabilidade 0,5, de forma independente. Qual é a probabilidade P de avariar no máximo um?

n = 10p = 0,5
P =
5.Distribuição normalMédia
−3−2−10123zárea sombreada à direita de z = 0,8159

Arraste z para que a área sombreada sob a curva normal padrão, à direita de z, seja 0,8159. Encontre z com duas casas decimais.

A = 0,8159
z =
6.Distribuição normalDifícil
557085100115130145pontosbase 90%

Os pontuações de QI têm distribuição normal com média 100 pontos e desvio padrão 15 pontos. Arraste o ponto de corte para que os 90% inferiores sombreados fiquem à esquerda dele. Encontre o ponto de corte x.

μ = 100 pontosσ = 15 pontos90%
x = pontos
7.Intervalos de confiançaMédia
n = 9, sd​ = 7,90LU = ?d̄ = 8,8E90%

A pressão arterial de 9 pacientes é medida antes e depois de um tratamento. As diferenças d = antes − depois (mmHg) têm média 8,8 e desvio-padrão 7,9. Encontre o limite superior do intervalo de confiança de 90% para a diferença média.

n = 9d̄ = 8,8sd = 7,990%t(8) = 1,86
limite superior = mmHg
8.Intervalos de confiançaDifícil
σ = 8, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 2,595%

O desvio-padrão da população é 8. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 95% para a média tenha margem de erro de no máximo 2,5?

σ = 8E = 2,595%
n =
9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
t −1,9901,99

Uma amostra de 81 estudantes tem nota média 198,3 e desvio-padrão amostral 5. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 198,3s = 5n = 81
t =
10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 2,5α = 0,05βσ = 13, poder 80%, n = ?

Um teste z unilateral com α = 0,05 deve detectar um deslocamento da média de 2,5 unidades com poder de 80%. O desvio-padrão é 13. Encontre o tamanho mínimo da amostra n.

α = 0,05poder = 80%δ = 2,5σ = 13zα = 1,645zβ = 0,842
n =
11.Regressão linear e correlaçãoMédia
xy274156268331042xy5102040

A tabela dá 5 observações pareadas de x = carga em kN e y = alongamento em mm. As suas somas são dadas. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r a partir dessas somas.

n = 5Σx = 30Σy = 123Σx² = 220Σy² = 3803Σxy = 914
r =
12.Regressão linear e correlaçãoDifícil
xy129222320421516614xy24615202530x = 4,5

A tabela dá 6 observações pareadas de x = idade do carro em anos e y = preço em k€. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. É feita uma nova observação (4,5, 20). Encontre o seu resíduo e = y − ŷ.

n = 6(4,5, 20)
e =

3Soluções

1.Estatística descritiva

Resposta: s = 7,266

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 177/5 = 35,4

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = 4,6² + 0,6² + 7,6² + (−11,4)² + (−1,4)² = 211,2

Desvio-padrão

s = √(211,2/4) = 7,266

Resposta

s = 7,266
2.Estatística descritiva

Resposta: P = 0,06681

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Padronizar

z = −1,5

Tabela da normal padrão

Φ(−1,5) = 0,06681
P = 0,06681

Resposta

P = 0,06681
3.Probabilidades

Resposta: P = 0,5177

Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complementar

P(nenhum seis) = (5/6)4 = 0,4823
P = 1 − 0,4823 = 0,5177

Resposta

P = 0,5177
4.Probabilidades

Resposta: P = 0,01074

Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zero e uma avaria

P(X = 0) = 0,510 = 0,0009766
P(X = 1) = 10·0,5·0,59 = 0,009766

Some

P = 0,0009766 + 0,009766 = 0,01074

Resposta

P = 0,01074
5.Distribuição normal

Resposta: z = −0,9

De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.

Área à esquerda de z

Φ(z) = 1 − 0,8159 = 0,1841

Leia a tabela de z ao contrário

Encontre 0,1841 dentro da tabela e leia z.

z = −0,90

Resposta

z = −0,90
6.Distribuição normal

Resposta: x = 119,2 pontos

De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.

Área à esquerda

Φ(z) = 0,9

z da tabela

z ≈ 1,28

De volta às unidades originais

x = 100 + 1,28·15 = 119,2 pontos

Resposta

x = 119,2 pontos
7.Intervalos de confiança

Resposta: limite superior = 13,7 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Valor crítico

df = 8, t = 1,86

Margem de erro

E = 1,86·7,9/√9 = 4,898

Intervalo

8,8 ± 4,898 → [3,902, 13,7]

Resposta

limite superior = 13,7 mmHg
8.Intervalos de confiança

Resposta: n = 40

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Resolver em ordem a n

n = (1,96·8/2,5)² = 39,34

Arredondar para cima

O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.

n = 40

Resposta

n = 40
9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: t = −3,06

Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).

Erro-padrão

SE = 5/√81 = 5/9 = 0,5556

Estatística de teste

t = (198,3 − 200)/0,5556 = −3,06

Resposta

t = −3,06
t0,025; df = 80 = 1,99

|t| > 1,99, então H₀ é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: n = 168

Tamanho de amostra para um teste: para detectar um deslocamento real δ com poder 1 − β em um teste z unilateral ao nível α, o erro-padrão deve satisfazer δ = (z_α + z_β)·σ/√n, então n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arredondado para cima.

Resolver em ordem a n

n = ((1,645 + 0,842)·13/2,5)² = 167,2

Arredondar para cima

n = 168

Resposta

n = 168
11.Regressão linear e correlação

Resposta: r = 0,9982

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Somas centradas

Sxy = 914 − 30·123/5 = 176
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 3803 − 123²/5 = 777,2

Coeficiente de correlação

r = 176/√(40·777,2) = 0,9982

Resposta

r = 0,9982
12.Regressão linear e correlação

Resposta: e = 2,295

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Médias

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 122/6 = 20,33

Somas de quadrados e de produtos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −46

Reta de regressão

b = −46/17,5 = −2,629
a = 20,33 − (−2,629)·3,5 = 29,53
ŷ = 29,53 − 2,629·x

Valor previsto

ŷ = 29,53 + (−2,629)·4,5 = 17,7

Resíduo

e = 20 − 17,7 = 2,295

Resposta

e = 2,295

O ponto está acima da reta.

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