Introdução à Estatística: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

2Exercícios

1.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 60, 53, 33, 11, 60.

n = 5

s =

2.Estatística descritivaDifícil

Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 70 e desvio-padrão 12. Que proporção P dos valores está acima de 74,8?

μ = 70σ = 12x = 74,8

P =

3.ProbabilidadesMédia

Para a distribuição mostrada, encontre a variância Var(X) de X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,25, 0,1, 0,3

Var(X) =

4.ProbabilidadesDifícil

Um jogo custa €1 para jogar. Você ganha €5 com probabilidade 0,1 e €20 com probabilidade 0,05; caso contrário, não ganha nada. A aposta não é devolvida. Encontre o ganho líquido esperado E(G) por jogo.

aposta = €1€5: p = 0,1€20: p = 0,05

E(G) = €

5.Distribuição normalMédia

Arraste z para que a área sombreada entre −z e z sob a curva normal padrão seja 0,4108. Encontre z com duas casas decimais.

A = 0,4108

z =

6.Distribuição normalDifícil

Os massas de sacos têm distribuição normal com média 250 g e desvio padrão 5 g. Arraste o ponto de corte para que os 40% inferiores sombreados fiquem à esquerda dele. Encontre o ponto de corte x.

μ = 250 gσ = 5 g40%

x = g

7.Intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 16 itens tem média 46 e desvio-padrão s = 14,5. A população é aproximadamente normal. Calcule a margem de erro E de um intervalo de confiança de 99% para a média.

n = 16x̄ = 46s = 14,599%t(15) = 2,947

E =

8.Intervalos de confiançaDifícil

Os diâmetros de 15 eixos usinados têm desvio-padrão amostral de 5,7 µm. Supondo que os diâmetros tenham distribuição normal, encontre o limite superior σ do intervalo de confiança de 95% para o desvio-padrão populacional. Com gl = 14, 2,5% da distribuição χ² fica abaixo de 5,629 e 2,5% fica acima de 26,119.

n = 15s = 5,7 µmχ² = 5,629, 26,119

σ = µm

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

Duas linhas de produção fabricam a mesma peça. Linha 1: uma amostra de 30 peças tem comprimento médio de 89,5 mm, e o desvio-padrão conhecido da linha é 16 mm. Linha 2: uma amostra de 40 peças tem média de 92,4 mm, desvio-padrão conhecido de 14 mm. Encontre a estatística de teste z para H₀: μ₁ = μ₂, tomando a diferença como x̄₁ − x̄₂ (linha 1 menos linha 2).

n₁ = 30x̄₁ = 89,5 mmσ₁ = 16 mmn₂ = 40x̄₂ = 92,4 mmσ₂ = 14 mm

z =

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Em um ensaio, 60 de 100 pacientes com o tratamento A se recuperam, e 108 de 200 pacientes com o tratamento B. Usando a proporção combinada, encontre a estatística de teste z para H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 60n₁ = 100x₂ = 108n₂ = 200

z =

11.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 6 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Encontre o coeficiente de determinação r² da reta de mínimos quadrados.

n = 6

r² =

12.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 5 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Para que valor x a reta prevê ŷ = 79?

n = 5ŷ = 79

x =

3Soluções

1.Estatística descritiva

Resposta: s = 21,22

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 217/5 = 43,4

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = 16,6² + 9,6² + (−10,4)² + (−32,4)² + 16,6² = 1801

Desvio-padrão

s = √(1801/4) = 21,22

Resposta

s = 21,22

2.Estatística descritiva

Resposta: P = 0,3446

Padronizar

z = 0,4

Tabela da normal padrão

Φ(0,4) = 0,6554

P = 1 − 0,6554 = 0,3446

Resposta

P = 0,3446

3.Probabilidades

Resposta: Var(X) = 1,528

Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; somar uma constante não muda a dispersão.

Média

μ = 0·0,35 + 1·0,25 + 2·0,1 + 3·0,3 = 1,35

Média dos quadrados

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,25 + 4·0,1 + 9·0,3 = 3,35

Variância

Var(X) = 3,35 − 1,35² = 1,528

Resposta

Var(X) = 1,528

4.Probabilidades

Resposta: E(G) = 0,5 €

Resultados líquidos

G: 4 (p = 0,1), 19 (p = 0,05), −1 (p = 0,85)

Valor esperado

E(G) = 4·0,1 + 19·0,05 − 1·0,85 = 0,5 €

Resposta

E(G) = 0,5 €

Um valor positivo significa que você ganha dinheiro em média.

5.Distribuição normal

Resposta: z = 0,54

De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.

Área à esquerda de z

Φ(z) = (1 + 0,4108)/2 = 0,7054

Leia a tabela de z ao contrário

Encontre 0,7054 dentro da tabela e leia z.

z = 0,54

Resposta

z = 0,54

6.Distribuição normal

Resposta: x = 248,8 g

Área à esquerda

Φ(z) = 0,4

z da tabela

z ≈ −0,25

De volta às unidades originais

x = 250 − 0,25·5 = 248,8 g

Resposta

x = 248,8 g

7.Intervalos de confiança

Resposta: E = 10,68

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Valor crítico

df = n − 1 = 15, t = 2,947

Margem de erro

E = 2,947·14,5/√16 = 10,68

Resposta

E = 10,68

8.Intervalos de confiança

Resposta: σ = 8,989 µm

Intervalo para uma variância: (n − 1)s²/σ² tem distribuição χ² com n − 1 graus de liberdade. O intervalo de 95% para σ² vai de (n − 1)s² dividido pelo valor superior de χ² (2,5% acima dele) até (n − 1)s² dividido pelo valor inferior de χ² (2,5% abaixo dele); o intervalo para σ é a raiz quadrada dos dois limites. Ele não é simétrico em torno de s.

Soma de quadrados

(n − 1)s² = 14·5,7² = 454,9

Limites para σ²

454,9/26,119 = 17,41

454,9/5,629 = 80,81

Limite para σ

σ = √80,81 = 8,989 µm

Resposta

σ = 8,989 µm

Intervalo de 95% para σ: [4,173, 8,989] µm.

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: z = −0,7912

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Erro-padrão da diferença

SE = √(16²/30 + 14²/40) = √13,43 = 3,665

Estatística de teste

z = (89,5 − 92,4)/3,665 = −0,7912

Resposta

z = −0,7912

|z| < 1,96, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: z = 0,9869

Proporções amostrais

p̂₁ = 60/100 = 0,6

p̂₂ = 108/200 = 0,54

p̂ = 168/300 = 0,56

Erro-padrão sob H₀

SE = √(0,56·0,44·(1/100 + 1/200)) = 0,06079

Estatística de teste

z = (0,6 − 0,54)/0,06079 = 0,9869

Resposta

z = 0,9869

|z| < 1,96, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).

11.Regressão linear e correlação

Resposta: r² = 0,9928

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Médias

x̄ = 132/6 = 22

ȳ = 657/6 = 109,5

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 445

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2850

Coeficiente de determinação

r² = 445²/(70·2850) = 0,9928

Resposta

r² = 0,9928

Cerca de 99,28% da variação de y é explicada pela reta.

12.Regressão linear e correlação

Resposta: x = 6,516

Médias

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 348/5 = 69,6

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 62

Reta de regressão

b = 62/10 = 6,2

a = 69,6 − 6,2·5 = 38,6

ŷ = 38,6 + 6,2·x

Resolver para x

x = (79 − 38,6)/6,2 = 6,516

Resposta

x = 6,516

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