Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.
Arraste z para que a área sombreada sob a curva normal padrão, à direita de z, seja 0,9429. Encontre z com duas casas decimais.
O tempo de volta X do corredor A e o tempo de volta Y do corredor B são independentes e normais: X tem média 52 s e desvio padrão 4 s, Y tem média 48 s e desvio padrão 3 s. Encontre a probabilidade P de X ser maior que Y. Arredonde z para duas casas decimais.
Um intervalo de confiança de 99% para uma média, baseado em 64 observações e σ conhecido, tem margem de erro de 1,1. Qual é a margem de erro E₂ de um intervalo de 95% baseado em 576 observações?
O desvio-padrão da população é 9. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 95% para a média tenha margem de erro de no máximo 3?
10 funcionários fazem um teste de digitação antes e depois de um curso de treinamento. Para cada pessoa é registrada a diferença d = depois − antes (palavras por minuto). A diferença média é −7,02 e o desvio-padrão das diferenças é 11,1. Encontre a estatística do teste pareado t para H₀: μd = 0.
Que tamanho deve ter uma amostra para que o intervalo de confiança a 99 % para uma média tenha uma margem de erro de no máximo 2,5? O desvio-padrão é 5. Calcule o menor tamanho de amostra n.
A tabela dá 6 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r.
A tabela dá 6 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Para que valor x a reta prevê ŷ = 93?
A tabela de contingência mostra frequências observadas. Calcule a estatística qui-quadrado χ² para o teste de independência entre as variáveis de linha e de coluna. Não use correção de continuidade.
A tabela mostra frequências observadas. Teste ao nível α = 0,01 se as duas variáveis são independentes (sem correção de continuidade). Calcule a estatística de teste χ² e depois compare-a com o valor crítico da tabela.
Resposta: z = −1,58
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Encontre 0,0571 dentro da tabela e leia z.
Resposta: P = 0,7881
Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μX ± μY. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σX² + σY², portanto σ = √(σX² + σY²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).
Resposta: E₂ = 0,279
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Resposta: n = 35
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.
Resposta: t = −2
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Com gl = 9, o valor crítico bilateral a 5% é 2,262; |t| é menor, então H₀ não é rejeitada.
Resposta: n = 27
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Resposta: r = 0,9912
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Resposta: x = 21,63
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Resposta: χ² = 34,13
Testes qui-quadrado: compare as frequências observadas O com as frequências E esperadas sob H₀ usando χ² = Σ(O − E)²/E. Aderência: E = n·p para cada categoria, gl = k − 1 (menos um para cada parâmetro estimado a partir dos dados). Independência em uma tabela r × c: E = total da linha × total da coluna / total geral, gl = (r − 1)(c − 1). Rejeite H₀ quando χ² ultrapassar o valor crítico para o α escolhido.
gl = 1. Para α = 0,05 o valor crítico é 3,841, então H₀ (independência) é rejeitada.
Resposta: χ² = 43,78
Testes qui-quadrado: compare as frequências observadas O com as frequências E esperadas sob H₀ usando χ² = Σ(O − E)²/E. Aderência: E = n·p para cada categoria, gl = k − 1 (menos um para cada parâmetro estimado a partir dos dados). Independência em uma tabela r × c: E = total da linha × total da coluna / total geral, gl = (r − 1)(c − 1). Rejeite H₀ quando χ² ultrapassar o valor crítico para o α escolhido.
χ² está acima do valor crítico, então H₀ é rejeitada: as variáveis parecem estar relacionadas.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference