Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.
As alturas de homens adultos seguem uma distribuição normal com média 178 cm e desvio-padrão 7 cm. Que fração está entre 176,25 e 181,85 cm? Dê P em forma decimal.
As notas de prova seguem uma distribuição normal com média 65 pontos e desvio-padrão 10 pontos. Calcule o valor x abaixo do qual estão 25% delas (o percentil 25).
Um intervalo de confiança de 90% para uma média, baseado em 25 observações e σ conhecido, tem margem de erro de 4,7. Qual é a margem de erro E₂ de um intervalo de 95% com os mesmos dados?
Dois fertilizantes são testados. Grupo de parcelas 1: 11 parcelas, produção média 67,5 kg, desvio-padrão 5 kg. Grupo de parcelas 2: 10 parcelas, média 66,5 kg, desvio-padrão 3 kg. Suponha variâncias iguais (t combinado, gl = n₁ + n₂ − 2). Encontre o limite superior do intervalo de confiança de 99% para μ₁ − μ₂.
12 funcionários fazem um teste de digitação antes e depois de um curso de treinamento. Para cada pessoa é registrada a diferença d = depois − antes (palavras por minuto). A diferença média é −6,25 e o desvio-padrão das diferenças é 5,7. Encontre a estatística do teste pareado t para H₀: μd = 0.
Uma amostra de 64 medições tem média 122,4. O desvio-padrão da população é 10. Calcule o limite inferior L do intervalo de confiança a 99 % para a média.
A tabela dá 5 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. Encontre o coeficiente de determinação r² da reta de mínimos quadrados.
A tabela dá 6 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Preveja ŷ para x = 19,5.
A tabela de contingência mostra frequências observadas. Calcule a estatística qui-quadrado χ² para o teste de independência entre as variáveis de linha e de coluna. Não use correção de continuidade.
Um teste qui-quadrado de aderência compara frequências observadas em 7 categorias com proporções esperadas totalmente especificadas (nenhum parâmetro é estimado a partir dos dados). Usando a tabela, encontre o valor crítico χ²crit ao nível de significância α = 0,05.
Resposta: P = 0,3075
Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.
Resposta: x = 58,26 pontos
Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.
Resposta: E₂ = 5,6
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Resposta: limite superior = 6,218 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Resposta: t = −3,798
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Com gl = 11, o valor crítico bilateral a 5% é 2,201; |t| é maior, então H₀ é rejeitada.
Resposta: L = 119,2
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Resposta: r² = 0,9837
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Cerca de 98,37% da variação de y é explicada pela reta.
Resposta: ŷ = 83,3
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Resposta: χ² = 0,5333
Testes qui-quadrado: compare as frequências observadas O com as frequências E esperadas sob H₀ usando χ² = Σ(O − E)²/E. Aderência: E = n·p para cada categoria, gl = k − 1 (menos um para cada parâmetro estimado a partir dos dados). Independência em uma tabela r × c: E = total da linha × total da coluna / total geral, gl = (r − 1)(c − 1). Rejeite H₀ quando χ² ultrapassar o valor crítico para o α escolhido.
gl = 1. Para α = 0,05 o valor crítico é 3,841, então H₀ (independência) é não rejeitada.
Resposta: χ²crit = 12,59
Testes qui-quadrado: compare as frequências observadas O com as frequências E esperadas sob H₀ usando χ² = Σ(O − E)²/E. Aderência: E = n·p para cada categoria, gl = k − 1 (menos um para cada parâmetro estimado a partir dos dados). Independência em uma tabela r × c: E = total da linha × total da coluna / total geral, gl = (r − 1)(c − 1). Rejeite H₀ quando χ² ultrapassar o valor crítico para o α escolhido.
Rejeite H₀ se o χ² calculado for maior que este valor.
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