Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.
X é normal com média 120 mm e desvio padrão 0,3 mm; Y é independente e normal com média 80 mm e desvio padrão 0,4 mm. Encontre a probabilidade P de X + Y ser maior que 200,5 mm. Arredonde z para duas casas decimais.
As durações de entregas seguem uma distribuição normal com média 32 min e desvio-padrão 6 min. Calcule o valor x abaixo do qual estão 10% delas (o percentil 10).
A duração da bateria de dois modelos de celular é comparada. Modelo 1: 40 celulares, média 96 h, desvio-padrão conhecido 20 h. Modelo 2: 100 celulares, média 101,5 h, desvio-padrão conhecido 9 h. Encontre o limite superior do intervalo de confiança de 99% para μ₁ − μ₂.
Dois fertilizantes são testados. Grupo de parcelas 1: 7 parcelas, produção média 27,5 kg, desvio-padrão 4 kg. Grupo de parcelas 2: 19 parcelas, média 26 kg, desvio-padrão 7 kg. Suponha variâncias iguais (t combinado, gl = n₁ + n₂ − 2). Encontre a margem de erro E do intervalo de confiança de 90% para μ₁ − μ₂.
6 funcionários fazem um teste de digitação antes e depois de um curso de treinamento. Para cada pessoa é registrada a diferença d = depois − antes (palavras por minuto). A diferença média é 8,7 e o desvio-padrão das diferenças é 8,2. Encontre a estatística do teste pareado t para H₀: μd = 0.
Que tamanho deve ter uma amostra para que o intervalo de confiança a 95 % para uma média tenha uma margem de erro de no máximo 1? O desvio-padrão é 8. Calcule o menor tamanho de amostra n.
A tabela dá 6 observações pareadas de x = idade do carro em anos e y = preço em k€. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r.
A tabela dá 6 observações pareadas de x = idade do carro em anos e y = preço em k€. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Preveja ŷ para x = 4,5.
A tabela de contingência mostra frequências observadas. Para um teste qui-quadrado de independência, encontre a frequência esperada E para a célula “turno diurno, sem defeito”.
Um teste qui-quadrado de aderência compara frequências observadas em 3 categorias com proporções esperadas totalmente especificadas (nenhum parâmetro é estimado a partir dos dados). Quantos graus de liberdade df o teste tem?
Resposta: P = 0,1587
Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μX ± μY. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σX² + σY², portanto σ = √(σX² + σY²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).
Resposta: x = 24,31 min
Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.
Resposta: limite superior = 2,97 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
O intervalo contém 0, então os dados não mostram uma diferença significativa.
Resposta: E = 4,829 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Resposta: t = 2,599
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Com gl = 5, o valor crítico bilateral a 5% é 2,571; |t| é maior, então H₀ é rejeitada.
Resposta: n = 246
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Resposta: r = −0,9655
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Resposta: ŷ = 19,8
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Resposta: E = 36,81
Testes qui-quadrado: compare as frequências observadas O com as frequências E esperadas sob H₀ usando χ² = Σ(O − E)²/E. Aderência: E = n·p para cada categoria, gl = k − 1 (menos um para cada parâmetro estimado a partir dos dados). Independência em uma tabela r × c: E = total da linha × total da coluna / total geral, gl = (r − 1)(c − 1). Rejeite H₀ quando χ² ultrapassar o valor crítico para o α escolhido.
Resposta: df = 2
Testes qui-quadrado: compare as frequências observadas O com as frequências E esperadas sob H₀ usando χ² = Σ(O − E)²/E. Aderência: E = n·p para cada categoria, gl = k − 1 (menos um para cada parâmetro estimado a partir dos dados). Independência em uma tabela r × c: E = total da linha × total da coluna / total geral, gl = (r − 1)(c − 1). Rejeite H₀ quando χ² ultrapassar o valor crítico para o α escolhido.
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