Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.
As massas de sacos seguem uma distribuição normal com média 250 g e desvio-padrão 5 g. Que fração está entre 244,25 e 254 g? Dê P em forma decimal.
Os diâmetros D dos furos são normais com média 25,04 mm e desvio padrão 0,01 mm. Os diâmetros d dos eixos são independentes e normais com média 25 mm e desvio padrão 0,02 mm. Um eixo escolhido ao acaso encaixa quando D − d > 0. Encontre a probabilidade P de ele encaixar. Arredonde z para duas casas decimais.
A duração da bateria de dois modelos de celular é comparada. Modelo 1: 40 celulares, média 147,5 h, desvio-padrão conhecido 5 h. Modelo 2: 30 celulares, média 139 h, desvio-padrão conhecido 13 h. Encontre a margem de erro E do intervalo de confiança de 90% para μ₁ − μ₂.
Dois fertilizantes são testados. Grupo de parcelas 1: 8 parcelas, produção média 16,5 kg, desvio-padrão 2,5 kg. Grupo de parcelas 2: 6 parcelas, média 13 kg, desvio-padrão 9 kg. Suponha variâncias iguais (t combinado, gl = n₁ + n₂ − 2). Encontre a margem de erro E do intervalo de confiança de 90% para μ₁ − μ₂.
Afirma-se que a média de uma população é 50; o desvio-padrão da população é conhecido e vale 16. Uma amostra aleatória de 64 observações tem média 54,44. Teste H₀: μ = 50 contra H₁: μ > 50. Encontre o valor p p.
Um teste z unilateral com α = 0,01 deve detectar um deslocamento da média de 2 unidades com poder de 80%. O desvio-padrão é 12. Encontre o tamanho mínimo da amostra n.
A tabela dá 5 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Encontre o coeficiente de determinação r² da reta de mínimos quadrados.
A tabela dá 5 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Para que valor x a reta prevê ŷ = 66?
A tabela de contingência mostra frequências observadas. Para um teste qui-quadrado de independência, encontre a frequência esperada E para a célula “funcionários, carro”.
Um teste qui-quadrado de aderência compara frequências observadas em 7 categorias com proporções esperadas totalmente especificadas (nenhum parâmetro é estimado a partir dos dados). Quantos graus de liberdade df o teste tem?
Resposta: P = 0,6631
Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.
Resposta: P = 0,9633
Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μX ± μY. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σX² + σY², portanto σ = √(σX² + σY²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).
Resposta: E = 4,115 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
O intervalo não contém 0, então as médias diferem significativamente.
Resposta: E = 5,885 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Resposta: p = 0,01321
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
p ≤ 0,05, então H₀ é rejeitada ao nível de 5%.
Resposta: n = 362
Tamanho de amostra para um teste: para detectar um deslocamento real δ com poder 1 − β em um teste z unilateral ao nível α, o erro-padrão deve satisfazer δ = (z_α + z_β)·σ/√n, então n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arredondado para cima.
Resposta: r² = 0,9881
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Cerca de 98,81% da variação de y é explicada pela reta.
Resposta: x = 21,14
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Resposta: E = 26,82
Testes qui-quadrado: compare as frequências observadas O com as frequências E esperadas sob H₀ usando χ² = Σ(O − E)²/E. Aderência: E = n·p para cada categoria, gl = k − 1 (menos um para cada parâmetro estimado a partir dos dados). Independência em uma tabela r × c: E = total da linha × total da coluna / total geral, gl = (r − 1)(c − 1). Rejeite H₀ quando χ² ultrapassar o valor crítico para o α escolhido.
Resposta: df = 6
Testes qui-quadrado: compare as frequências observadas O com as frequências E esperadas sob H₀ usando χ² = Σ(O − E)²/E. Aderência: E = n·p para cada categoria, gl = k − 1 (menos um para cada parâmetro estimado a partir dos dados). Independência em uma tabela r × c: E = total da linha × total da coluna / total geral, gl = (r − 1)(c − 1). Rejeite H₀ quando χ² ultrapassar o valor crítico para o α escolhido.
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