Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.
As durações de entregas seguem uma distribuição normal com média 32 min e desvio-padrão 6 min. Que fração está entre 20,3 e 38,3 min? Dê P em forma decimal.
As notas de prova seguem uma distribuição normal com média 65 pontos e desvio-padrão 10 pontos. Calcule o valor x abaixo do qual estão 20% delas (o percentil 20).
A duração da bateria de dois modelos de celular é comparada. Modelo 1: 50 celulares, média 85 h, desvio-padrão conhecido 3 h. Modelo 2: 50 celulares, média 89 h, desvio-padrão conhecido 20 h. Encontre o limite superior do intervalo de confiança de 90% para μ₁ − μ₂.
O desvio-padrão da população é 7. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 90% para a média tenha margem de erro de no máximo 2?
Duas linhas de produção fabricam a mesma peça. Linha 1: uma amostra de 30 peças tem comprimento médio de 107,5 mm, e o desvio-padrão conhecido da linha é 20 mm. Linha 2: uma amostra de 100 peças tem média de 111,2 mm, desvio-padrão conhecido de 4 mm. Encontre a estatística de teste z para H₀: μ₁ = μ₂, tomando a diferença como x̄₁ − x̄₂ (linha 1 menos linha 2).
Que tamanho deve ter uma amostra para que o intervalo de confiança a 95 % para uma média tenha uma margem de erro de no máximo 2? O desvio-padrão é 10. Calcule o menor tamanho de amostra n.
A tabela dá 6 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r.
A tabela dá 6 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. É feita uma nova observação (4,5, 56). Encontre o seu resíduo e = y − ŷ.
A tabela de contingência mostra frequências observadas. Calcule a estatística qui-quadrado χ² para o teste de independência entre as variáveis de linha e de coluna. Não use correção de continuidade.
Um teste qui-quadrado de aderência verifica se as frequências em 7 categorias seguem uma distribuição de Poisson cuja média é estimada a partir dos mesmos dados. Usando a tabela, encontre o valor crítico χ²crit ao nível de significância α = 0,01.
Resposta: P = 0,8276
Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.
Resposta: x = 56,58 pontos
Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.
Resposta: limite superior = 0,7048 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
O intervalo contém 0, então os dados não mostram uma diferença significativa.
Resposta: n = 34
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.
Resposta: z = −1,007
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
|z| < 1,96, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
Resposta: n = 97
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Resposta: r = 0,9965
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Resposta: e = 2,862
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
O ponto está acima da reta.
Resposta: χ² = 5,533
Testes qui-quadrado: compare as frequências observadas O com as frequências E esperadas sob H₀ usando χ² = Σ(O − E)²/E. Aderência: E = n·p para cada categoria, gl = k − 1 (menos um para cada parâmetro estimado a partir dos dados). Independência em uma tabela r × c: E = total da linha × total da coluna / total geral, gl = (r − 1)(c − 1). Rejeite H₀ quando χ² ultrapassar o valor crítico para o α escolhido.
gl = 2. Para α = 0,05 o valor crítico é 5,991, então H₀ (independência) é não rejeitada.
Resposta: χ²crit = 15,09
Testes qui-quadrado: compare as frequências observadas O com as frequências E esperadas sob H₀ usando χ² = Σ(O − E)²/E. Aderência: E = n·p para cada categoria, gl = k − 1 (menos um para cada parâmetro estimado a partir dos dados). Independência em uma tabela r × c: E = total da linha × total da coluna / total geral, gl = (r − 1)(c − 1). Rejeite H₀ quando χ² ultrapassar o valor crítico para o α escolhido.
Rejeite H₀ se o χ² calculado for maior que este valor.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference