Análise Estrutural: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Reações de apoio em vigas

Equilíbrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L no meio da carga
Momento
M = F·d

Método

  1. Desenhe um diagrama de corpo livre e substitua cada apoio por suas reações.
  2. Substitua cada carga distribuída por uma única força no seu centroide.
  3. Tome momentos em relação a um apoio para encontrar a reação no outro.
  4. Use ΣFy = 0 para encontrar a reação restante e confira com uma segunda equação de momentos.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento
V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão
σ = M·y/I
Retângulo
I = bh³/12
Módulo de resistência
W = I/ymax
Viga biapoiada, carga uniforme
Mmax = wL²/8

Método

  1. Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
  2. Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
  3. Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
  4. Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Treliça: método dos nós

Método dos nós
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método das seções
ΣM = 0 about a cut point
Esforço na barra
positivo = tração, negativo = compressão

Método

  1. Encontre as reações de apoio da treliça inteira.
  2. Método dos nós: comece em um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas e use ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
  3. Método das seções: corte a barra de que você precisa e tome momentos em relação a um ponto onde as outras barras desconhecidas se encontram.
  4. Suponha tração; uma resposta negativa significa compressão.

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão
δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada
δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta
δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposição
δ = δ1 + δ2

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo
K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica
σcr = Pcr/A
Esbeltez
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Reações de apoio em vigasMédia
P1​ = 10 kNP2​ = 65 kNABCRA​ = ?5 m1 m2 m

A viga tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B, a 6 m de A, e se estende em balanço além de B até a extremidade livre C. Encontre a reação vertical RA, considerando positivo para cima.

AB = 6 mAC = 8 mP1 = 10 kN em 5 mP2 = 65 kN em 8 m
RA = kN
2.Reações de apoio em vigasDifícil
P = 55 kN, 60°Q = 80 kNABRA​ = ?1 m4 m3 m

A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Uma carga P atua a 5 m de A, inclinada a 60° em relação à horizontal, e uma carga vertical Q atua a 1 m de A. Encontre o módulo da força de reação total RA no apoio fixo A.

L = 8 mP = 55 kN em 5 m, θ = 60°Q = 80 kN em 1 m
RA = kN
3.Esforço cortante e momento fletorMédia
8 kN/m60 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

60 kN @ 6 m8 kN/m, 0–12 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
4.Esforço cortante e momento fletorDifícil
w = 3 kN/mP = 30 kNABseção4 m2 m

Encontre o momento fletor Mx na seção x = 4 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 6 mP = 30 kN em 4 mw = 3 kN/m de 0 a 6 mx = 4 m
Mx = kN·m
5.Treliça: método dos nósMédia
ABCDEFGH20 kN40 kN40 kN4 × 4 m3 m

Exatamente um membro desta treliça não suporta força sob estas cargas. Qual é o membro de força nula? Clique nele no diagrama.

D: 20 kN ↓G: 40 kN ↓H: 40 kN ↓
  1. 1membro AB
  2. 2membro BC
  3. 3membro CD
  4. 4membro DE
  5. 5membro FG
  6. 6membro GH
  7. 7membro AF
  8. 8membro HE
  9. 9membro BF
  10. 10membro CG
  11. 11membro DH
  12. 12membro BG
  13. 13membro DG
6.Treliça: método dos nósDifícil
ABBCACACB35 kN15 kN5 m3 m3 m

Use o método dos nós para encontrar a força FBC na barra BC. Dê tração como positiva e compressão como negativa.

vão = 5 maltura = 3 mB está a 3 m de Acarga vertical = 35 kNcarga horizontal = 15 kN →
FBC = kN
7.Deflexão da vigaMédia
P = 11 kNABδ3 m2 m

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga concentrada P a a = 3 m do apoio A. Encontre a deflexão δP sob a carga.

P = 11 kNa = 3 mL = 5 mE = 70 GPa (alumínio)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Deflexão da vigaDifícil
w = 5 kN/mP = 23 kNδL = 4 m

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w e uma carga concentrada P no meio do vão. Usando superposição, encontre a deflexão no meio do vão δmax.

P = 23 kNw = 5 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (madeira estrutural)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Flambagem de pilaresMédia
PL = 2,5 m20 × 50 mmseção transversal

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem Pcr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (alumínio)b × h = 20 × 50 mm
Pcr = kN
10.Flambagem de pilaresDifícil
PL = 2 md = 20 mmseção transversal

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado nas duas extremidades. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σcr pela fórmula de Euler.

L = 2 mE = 70 GPa (alumínio)d = 20 mm
σcr = MPa

3Soluções

1.Reações de apoio em vigas

Resposta: RA = −20 kN

Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Substitua cada carga distribuída pela sua resultante (a sua área) atuando no centroide do diagrama de carga, e tome momentos em relação a um apoio para eliminar a reação desse apoio da equação.

Momentos em relação a A

Anti-horário positivo.

ΣMA = 0: RB·6 = 10·5 + 65·8
RB = 570/6 = 95 kN

Equilíbrio vertical

RA = 10 + 65 − 95 = −20 kN

Resposta

RA = −20 kN

RA é negativa: o apoio fixo em A precisa segurar a viga para baixo.

2.Reações de apoio em vigas

Resposta: RA = 92,06 kN

Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Substitua cada carga distribuída pela sua resultante (a sua área) atuando no centroide do diagrama de carga, e tome momentos em relação a um apoio para eliminar a reação desse apoio da equação.

Componentes de P

Pv = 55·sin 60° = 47,63 kN
Ph = 55·cos 60° = 27,5 kN

Reações

ΣMA = 0: RB·8 = 47,63·5 + 80·1 → RB = 39,77 kN
Ay = 47,63 + 80 − 39,77 = 87,86 kN
Ax = Ph = 27,5 kN

Resultante em A

RA = √(27,5² + 87,86²) = 92,06 kN

Resposta

RA = 92,06 kN
3.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: D (x = 6 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R1 = 78 kN, R2 = 78 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

MA = 0, MB = 140, MC = 248, MD = 324 kN·m, ME = 248, MF = 140, MG = 0

Resposta

Marca D: MD = 324 kN·m
4.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: Mx = 52 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, atuando em x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 30·4 + 3·6·3
RB = 174/6 = 29 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 29 = 19 kN
w = 3 kN/mP = 30 kNABRA​ = 19RB​ = 29seção4 m2 m

Corte em x = 4 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = RA·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)
Mx = 19·4 − 3·4·2 = 52 kN·m

Resposta

Mx = 52 kN·m
5.Treliça: método dos nós

Resposta: membro CG

Membros de força nula: em um nó, as forças devem se equilibrar em todas as direções. Se um nó não tem carga nem apoio, e dois de seus três membros estão alinhados, então o equilíbrio na direção perpendicular a essa linha envolve apenas o terceiro membro, e portanto sua força é zero. Se apenas dois membros se encontram em um nó sem carga e não estão alinhados, ambos são nulos.

Nó C

BC e CD estão em uma mesma reta e o nó não tem carga. Equilibrar as forças na direção perpendicular a essa reta deixa apenas CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Verifique com o método dos nós

Resolver todos os nós dá estas forças nos membros (T = tração, C = compressão).

AB: 46,67 kN (T), BC: 93,33 kN (T), CD: 93,33 kN (T), DE: 86,67 kN (T), FG: 46,67 kN (C), GH: 86,67 kN (C), AF: 58,33 kN (C), HE: 108,3 kN (C), BF: 35 kN (T), CG: 0, DH: 25 kN (T), BG: 58,33 kN (C), DG: 8,333 kN (C)

Resposta

Membro de força nula: CG
6.Treliça: método dos nós

Resposta: FBC = −36,06 kN

Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣFx = 0 e ΣFy = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.

ABBCACACB35 kN15 kNAy​Cy​Ax​

Reações de apoio

Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.

ΣMA = 0: Cy·5 = 35·3 + 15·3 → Cy = 30 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 30 = 5 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN

Nó C

O apoio móvel dá apenas uma reação vertical, então o nó C tem só duas forças de barra desconhecidas. Suponha ambas tracionadas.

sin γ = 3/3,606 = 0,8321, cos γ = 2/3,606 = 0,5547
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −30/0,8321 = −36,06 kN

Resposta

FBC = −36,06 kN (compressão)
7.Deflexão da viga

Resposta: δP = 31,43 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 11000 N, a = 3000 mm, b = 2000 mm, L = 5000 mm
EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Deflexão sob a carga

δP = Pa²b²/(3EIL) = 11000·3000²·2000²/(3·8,4 × 10¹¹·5000) = 31,43 mm

Resposta

δP = 31,43 mm
8.Deflexão da viga

Resposta: δmax = 35,86 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 23000 N, w = 5 N/mm, L = 4000 mm, EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Cada carga sozinha

δP = PL³/(48EI) = 23000·4000³/(48·1,32 × 10¹²) = 23,23 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·4000⁴/(384·1,32 × 10¹²) = 12,63 mm

Some

δmax = 23,23 + 12,63 = 35,86 mm

Resposta

δmax = 35,86 mm
9.Flambagem de pilares

Resposta: Pcr = 14,74 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em Pcr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

Imin = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·33333/1250² = 14739 N = 14,74 kN

Resposta

Pcr = 14,74 kN
10.Flambagem de pilares

Resposta: σcr = 17,27 MPa

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em Pcr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 314,2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm
KL = 0,5·2000 = 1000 mm
KL/r = 1000/5 = 200

Tensão crítica

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

Resposta

σcr = 17,27 MPa

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