Análise Estrutural: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercíciosVoltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Reações de apoio em vigas

Equilíbrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L no meio da carga
Momento
M = F·d

Método

  1. Desenhe um diagrama de corpo livre e substitua cada apoio por suas reações.
  2. Substitua cada carga distribuída por uma única força no seu centroide.
  3. Tome momentos em relação a um apoio para encontrar a reação no outro.
  4. Use ΣFy = 0 para encontrar a reação restante e confira com uma segunda equação de momentos.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento
V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão
σ = M·y/I
Retângulo
I = bh³/12
Módulo de resistência
W = I/ymax
Viga biapoiada, carga uniforme
Mmax = wL²/8

Método

  1. Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
  2. Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
  3. Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
  4. Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Treliça: método dos nós

Método dos nós
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método das seções
ΣM = 0 about a cut point
Esforço na barra
positivo = tração, negativo = compressão

Método

  1. Encontre as reações de apoio da treliça inteira.
  2. Método dos nós: comece em um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas e use ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
  3. Método das seções: corte a barra de que você precisa e tome momentos em relação a um ponto onde as outras barras desconhecidas se encontram.
  4. Suponha tração; uma resposta negativa significa compressão.

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão
δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada
δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta
δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposição
δ = δ1 + δ2

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo
K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica
σcr = Pcr/A
Esbeltez
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Reações de apoio em vigasMédia
w = 3 kN/mP = 25 kNABRA​ = ?3,5 m0,5 m

A viga em balanço está engastada na parede em A. Ela suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento e uma carga concentrada P a 3,5 m da parede. Encontre a reação vertical RA na parede.

L = 4 mP = 25 kN em 3,5 mw = 3 kN/m de 0 a 4 m
RA = kN
2.Reações de apoio em vigasDifícil
w = 4 kN/mP = 30 kNABRA​RB​ = ?2 m1 m1 m

A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Encontre a reação vertical de apoio RB.

L = 4 mP = 30 kN em 3 mw = 4 kN/m de 2 a 4 m
RB = kN
3.Esforço cortante e momento fletorMédia
M0​ = 10 kN·mAB4 m6 m

A viga simplesmente apoiada suporta um binário no sentido horário M0 = 10 kN·m em x = 4 m a partir de A, e nenhuma outra carga. Encontre o momento fletor Mx logo à direita do binário. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 10 mM0 = 10 kN·m no sentido horário, em 4 m
Mx = kN·m
4.Esforço cortante e momento fletorDifícil
w = 5 kN/mABC5 m1,5 m

A viga se apoia em um apoio fixo em A e em um apoio móvel em B e se estende 1,5 m além de B, em balanço, até a extremidade livre C. Uma carga uniformemente distribuída w atua em todo o comprimento A–C. Encontre o momento fletor positivo máximo Mmax entre os apoios.

L = 6,5 mw = 5 kN/m de 0 a 6,5 mapoios em x = 0 e x = 5 m
Mmax = kN·m
5.Treliça: método dos nósMédia
ABBCACACB10 kN8 m7 m3 m

Use o método dos nós para encontrar a força FAC na barra AC. Dê tração como positiva e compressão como negativa.

vão = 8 maltura = 3 mB está a 7 m de Acarga vertical = 10 kN
FAC = kN
6.Treliça: método dos nósDifícil
ABBCACACB60 kN25 kN4 m3 m3 m

Use o método dos nós para encontrar a força FAB na barra AB. Dê tração como positiva e compressão como negativa.

vão = 4 maltura = 3 mB está a 3 m de Acarga vertical = 60 kNcarga horizontal = 25 kN →
FAB = kN
7.Deflexão da vigaMédia
P = 7 kNABδ0,5 m2,5 m

Uma viga em balanço de comprimento L está engastada em A e suporta uma carga concentrada P a uma distância a = 0,5 m de A. Encontre a deflexão δB na extremidade livre B.

P = 7 kNa = 0,5 mL = 3 mE = 11 GPa (madeira estrutural)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.Deflexão da vigaDifícil
w = 10 kN/mδL = 4 m

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w. Sua deflexão não pode passar de vão/360. Encontre o menor momento de inércia Ireq que atende a esse limite.

w = 10 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (aço)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Flambagem de pilaresMédia
PL = 3 md = 60 mmseção transversal

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado na base e livre no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem Pcr.

L = 3 mE = 200 GPa (aço)d = 60 mm
Pcr = kN
10.Flambagem de pilaresDifícil
P = 150 kNL = 2 md = ?seção transversal

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de alumínio está articulado nas duas extremidades. Ele deve suportar 150 kN com um fator de segurança de 2 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 150 kNn = 2L = 2 mE = 70 GPa (alumínio)
d = mm

3Soluções

1.Reações de apoio em vigas

Resposta: RA = 37 kN

Equilíbrio de balanços: um engaste pode empurrar para cima e também impedir a rotação, então dá uma reação vertical RA e um momento de reação MA. ΣFy = 0 dá RA, e os momentos em relação à parede dão MA = Σ(carga × distância até a parede). Uma carga distribuída atua como sua resultante no centroide do diagrama de carga.

Resultante da carga distribuída

W = 3·4 = 12 kN, x̄ = 2 m

Equilíbrio vertical

RA = P + W = 25 + 12 = 37 kN

Resposta

RA = 37 kN
2.Reações de apoio em vigas

Resposta: RB = 28,5 kN

Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Tomar momentos em relação a um apoio elimina a reação desse apoio da equação.

w = 4 kN/mP = 30 kNABRA​RB​2 m1 m1 m

Diagrama de corpo livre

Substitua os apoios por forças de reação. Um apoio móvel dá uma reação vertical; com apenas cargas verticais, o apoio fixo também dá uma reação vertical.

Equilíbrio

Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário. Depois o equilíbrio das forças verticais.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 4·2 = 8 kN, atuando em x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·4 = 30·3 + 4·2·3
RB = 114/4 = 28,5 kN
ΣFy = 0: RA = 38 − 28,5 = 9,5 kN

Resposta

RB = 28,5 kN
3.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: Mx = 6 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Um binário aplicado faz o diagrama de momento fletor saltar do valor do binário.

Reações de apoio

Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário: RB·L − M0 = 0. Equilíbrio vertical: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 10/10 = 1 kN (para cima)
RA = −RB = −1 kN (para baixo)

Corte logo à direita do binário

A parte esquerda agora contém RA e o binário.

Mx = RA·a + M0 = −1·4 + 10 = 6 kN·m

Resposta

Mx = 6 kN·m
4.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: Mmax = 12,94 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira, incluindo a carga no balanço.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 5·6,5 = 32,5 kN, atuando em x̄ = 3,25 m
ΣMA = 0: RB·5 = 5·6,5·3,25
RB = 105,6/5 = 21,13 kN
ΣFy = 0: RA = 32,5 − 21,13 = 11,38 kN

Cortante nulo

RA − w·x0 = 0 → x0 = 11,38/5 = 2,275 m

Momento positivo máximo

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 11,38²/(2·5) = 12,94 kN·m

Resposta

Mmax = 12,94 kN·m
5.Treliça: método dos nós

Resposta: FAC = 2,917 kN

Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣFx = 0 e ΣFy = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.

ABBCACACB10 kNAy​Cy​

Reações de apoio

Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.

ΣMA = 0: Cy·8 = 10·7 → Cy = 8,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 8,75 = 1,25 kN

Nó C

O apoio móvel dá apenas uma reação vertical, então o nó C tem só duas forças de barra desconhecidas. Suponha ambas tracionadas.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −8,75/0,9487 = −9,223 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−9,223)·0,3162 = 2,917 kN

Resposta

FAC = 2,917 kN (tração)
6.Treliça: método dos nós

Resposta: FAB = 5,303 kN

Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣFx = 0 e ΣFy = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.

ABBCACACB60 kN25 kNAy​Cy​Ax​

Reações de apoio

Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.

ΣMA = 0: Cy·4 = 60·3 + 25·3 → Cy = 63,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 63,75 = −3,75 kN
ΣFx = 0: Ax = −25 kN

Nó A

Suponha que toda barra está tracionada (puxando para fora do nó). Só AB tem componente vertical em A.

sin α = 3/4,243 = 0,7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −−3,75/0,7071 = 5,303 kN

Resposta

FAB = 5,303 kN (tração)
7.Deflexão da viga

Resposta: δB = 18,78 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 7000 N, a = 500 mm, L = 3000 mm
EI = 1,32 × 10¹¹ N·mm²

Deflexão na extremidade livre

Deflexão na carga mais a rotação na carga vezes o comprimento restante.

δP = Pa³/(3EI) = 2,21 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,006629 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 18,78 mm

Resposta

δB = 18,78 mm
8.Deflexão da viga

Resposta: Ireq = 15 × 10⁶ mm⁴

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Limite de deflexão

δallow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Momento de inércia necessário

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·10·4000⁴/(384·200000·11,11) = 1,5 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 15 × 10⁶ mm⁴

Resposta

Ireq = 15 × 10⁶ mm⁴
9.Flambagem de pilares

Resposta: Pcr = 34,88 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em Pcr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 2·3000 = 6000 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/6000² = 34882 N = 34,88 kN

Resposta

Pcr = 34,88 kN
10.Flambagem de pilares

Resposta: d = 77,13 mm

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em Pcr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Carga crítica necessária

Pcr = n·P = 2·150000 = 300000 N
KL = 1·2000 = 2000 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 77,13 mm

Resposta

d = 77,13 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 103,7, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis