Análise Estrutural: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Reações de apoio em vigas

Equilíbrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L no meio da carga
Momento
M = F·d

Método

  1. Desenhe um diagrama de corpo livre e substitua cada apoio por suas reações.
  2. Substitua cada carga distribuída por uma única força no seu centroide.
  3. Tome momentos em relação a um apoio para encontrar a reação no outro.
  4. Use ΣFy = 0 para encontrar a reação restante e confira com uma segunda equação de momentos.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento
V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão
σ = M·y/I
Retângulo
I = bh³/12
Módulo de resistência
W = I/ymax
Viga biapoiada, carga uniforme
Mmax = wL²/8

Método

  1. Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
  2. Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
  3. Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
  4. Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Treliça: método dos nós

Método dos nós
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método das seções
ΣM = 0 about a cut point
Esforço na barra
positivo = tração, negativo = compressão

Método

  1. Encontre as reações de apoio da treliça inteira.
  2. Método dos nós: comece em um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas e use ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
  3. Método das seções: corte a barra de que você precisa e tome momentos em relação a um ponto onde as outras barras desconhecidas se encontram.
  4. Suponha tração; uma resposta negativa significa compressão.

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão
δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada
δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta
δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposição
δ = δ1 + δ2

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo
K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica
σcr = Pcr/A
Esbeltez
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Reações de apoio em vigasMédia
P = 25 kNM = 25 kN·mABRA​ = ?0,5 m0,5 m5 m

A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Ela suporta uma carga concentrada P a 0,5 m de A e um binário anti-horário M a 1 m de A. Encontre a reação vertical RA, considerando positivo para cima.

L = 6 mP = 25 kN em 0,5 mM = 25 kN·m (anti-horário) em 1 m
RA = kN
2.Reações de apoio em vigasDifícil
w0​ = 10 kN/mP = 25 kNABMA​ = ?3 m2 m

A viga em balanço está engastada na parede em A. Ela suporta uma carga linearmente variável que vale 10 kN/m na parede e cai até zero na extremidade livre B, além de uma carga concentrada P a 3 m da parede. Encontre o módulo do momento de reação MA na parede.

L = 5 mw0 = 10 kN/mP = 25 kN em 3 m
MA = kN·m
3.Esforço cortante e momento fletorMédia
55 kN10 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

55 kN @ 4 m10 kN @ 8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
4.Esforço cortante e momento fletorDifícil
55 kN35 kN10 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

55 kN @ 0 m35 kN @ 12 m10 kN @ 4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.Treliça: método dos nósMédia
ABBCACACB40 kN6 m5 m4 m

Use o método dos nós para encontrar a força FAC na barra AC. Dê tração como positiva e compressão como negativa.

vão = 6 maltura = 4 mB está a 5 m de Acarga vertical = 40 kN
FAC = kN
6.Treliça: método dos nósDifícil
ABCDEFGH10 kN40 kN15 kN40 kN20 kN20 kN4 × 3 m3 m

Exatamente um membro desta treliça não suporta força sob estas cargas. Qual é o membro de força nula? Clique nele no diagrama.

B: 10 kN ↓D: 40 kN ↓F: 15 kN ↓F: 40 kN →G: 20 kN ↓H: 20 kN ↓
  1. 1membro AB
  2. 2membro BC
  3. 3membro CD
  4. 4membro DE
  5. 5membro FG
  6. 6membro GH
  7. 7membro AF
  8. 8membro HE
  9. 9membro BF
  10. 10membro CG
  11. 11membro DH
  12. 12membro BG
  13. 13membro DG
7.Deflexão da vigaMédia
w = 12 kN/mδL = 3 m

Uma viga em balanço suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento. Encontre a deflexão δ na extremidade livre.

w = 12 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (aço)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Deflexão da vigaDifícil
P = 30 kNAB2,5 m2,5 m

Uma viga engastada e apoiada está engastada em A e simplesmente apoiada em B. Ela suporta uma carga concentrada P no meio do vão. EI é constante. Encontre o módulo do momento fletor MA no engaste.

L = 5 mP = 30 kN em 2,5 m
MA = kN·m
9.Flambagem de pilaresMédia
PL = 1 md = 40 mmseção transversal

Um pilar de comprimento L feito de aço está articulado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem Pcr.

L = 1 mE = 200 GPa (aço)d = 40 mm
Pcr = kN
10.Flambagem de pilaresDifícil
P = 70 kNL = 2,5 md = ?seção transversal

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de alumínio está engastado nas duas extremidades. Ele deve suportar 70 kN com um fator de segurança de 2,5 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 70 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 70 GPa (alumínio)
d = mm

3Soluções

1.Reações de apoio em vigas

Resposta: RA = 27,08 kN

Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Substitua cada carga distribuída pela sua resultante (a sua área) atuando no centroide do diagrama de carga, e tome momentos em relação a um apoio para eliminar a reação desse apoio da equação.

Momentos em relação a A

Anti-horário positivo.

ΣMA = 0: RB·6 − 25·0,5 + 25 = 0
RB = −12,5/6 = −2,083 kN

Equilíbrio vertical

RA = 25 − (−2,083) = 27,08 kN

Resposta

RA = 27,08 kN

Uma reação negativa atua para baixo.

2.Reações de apoio em vigas

Resposta: MA = 116,7 kN·m

Equilíbrio de balanços: um engaste pode empurrar para cima e também impedir a rotação, então dá uma reação vertical RA e um momento de reação MA. ΣFy = 0 dá RA, e os momentos em relação à parede dão MA = Σ(carga × distância até a parede). Uma carga distribuída atua como sua resultante no centroide do diagrama de carga.

Resultante da carga triangular

W = ½·10·5 = 25 kN
x̄ = L/3 = 1,667 m

Momento em relação à parede

MA = W·x̄ + P·a = 25·1,667 + 25·3 = 116,7 kN·m

Resposta

MA = 116,7 kN·m
3.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: C (x = 4 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R1 = 40 kN, R2 = 25 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

MA = 0, MB = 80, MC = 160 kN·m, MD = 130, ME = 100, MF = 50, MG = 0

Resposta

Marca C: MC = 160 kN·m
4.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: B (x = 2 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R1 = 67,5 kN, R2 = 32,5 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

MA = 0, MB = −110 kN·m, MC = −85, MD = −80, ME = −75, MF = −70, MG = 0

Resposta

Marca B: MB = −110 kN·m
5.Treliça: método dos nós

Resposta: FAC = 8,333 kN

Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣFx = 0 e ΣFy = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.

ABBCACACB40 kNAy​Cy​

Reações de apoio

Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.

ΣMA = 0: Cy·6 = 40·5 → Cy = 33,33 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 33,33 = 6,667 kN

Nó C

O apoio móvel dá apenas uma reação vertical, então o nó C tem só duas forças de barra desconhecidas. Suponha ambas tracionadas.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −33,33/0,9701 = −34,36 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−34,36)·0,2425 = 8,333 kN

Resposta

FAC = 8,333 kN (tração)
6.Treliça: método dos nós

Resposta: membro CG

Membros de força nula: em um nó, as forças devem se equilibrar em todas as direções. Se um nó não tem carga nem apoio, e dois de seus três membros estão alinhados, então o equilíbrio na direção perpendicular a essa linha envolve apenas o terceiro membro, e portanto sua força é zero. Se apenas dois membros se encontram em um nó sem carga e não estão alinhados, ambos são nulos.

Nó C

BC e CD estão em uma mesma reta e o nó não tem carga. Equilibrar as forças na direção perpendicular a essa reta deixa apenas CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Verifique com o método dos nós

Resolver todos os nós dá estas forças nos membros (T = tração, C = compressão).

AB: 73,75 kN (T), BC: 82,5 kN (T), CD: 82,5 kN (T), DE: 71,25 kN (T), FG: 73,75 kN (C), GH: 71,25 kN (C), AF: 47,73 kN (C), HE: 100,8 kN (C), BF: 18,75 kN (T), CG: 0, DH: 51,25 kN (T), BG: 12,37 kN (C), DG: 15,91 kN (C)

Resposta

Membro de força nula: CG
7.Deflexão da viga

Resposta: δ = 5,063 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 3000 mm
EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Deflexão

δ = wL⁴/(8EI) = 12·3000⁴/(8·2,4 × 10¹³) = 5,063 mm

Resposta

δ = 5,063 mm
8.Deflexão da viga

Resposta: MA = 28,13 kN·m

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição). Para uma viga estaticamente indeterminada, retire um apoio redundante e exija que a deflexão ali seja zero (compatibilidade).

Retire o apoio

Sem o apoio a viga é um balanço. Sua extremidade livre defletiria sob a carga.

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Compatibilidade no apoio

A força do apoio RB sozinha levanta a extremidade livre em RBL³/(3EI). O apoio mantém B com deflexão zero, então as duas devem se anular. EI se cancela.

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·30/16 = 9,375 kN

Momento no engaste

Momentos em relação a A das cargas e da força do apoio.

MA = P·L/2 − RB·L = 75 − 46,88 = 28,13 kN·m

Resposta

MA = 28,13 kN·m
9.Flambagem de pilares

Resposta: Pcr = 248,1 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em Pcr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 1·1000 = 1000 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1000² = 248050 N = 248,1 kN

Resposta

Pcr = 248,1 kN
10.Flambagem de pilares

Resposta: d = 53,29 mm

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em Pcr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Carga crítica necessária

Pcr = n·P = 2,5·70000 = 175000 N
KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·175000·1250²/(π³·70000))^(1/4) = 53,29 mm

Resposta

d = 53,29 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 93,83, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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