Análise Estrutural: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Reações de apoio em vigas

Equilíbrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L no meio da carga
Momento
M = F·d

Método

  1. Desenhe um diagrama de corpo livre e substitua cada apoio por suas reações.
  2. Substitua cada carga distribuída por uma única força no seu centroide.
  3. Tome momentos em relação a um apoio para encontrar a reação no outro.
  4. Use ΣFy = 0 para encontrar a reação restante e confira com uma segunda equação de momentos.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento
V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão
σ = M·y/I
Retângulo
I = bh³/12
Módulo de resistência
W = I/ymax
Viga biapoiada, carga uniforme
Mmax = wL²/8

Método

  1. Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
  2. Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
  3. Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
  4. Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Treliça: método dos nós

Método dos nós
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método das seções
ΣM = 0 about a cut point
Esforço na barra
positivo = tração, negativo = compressão

Método

  1. Encontre as reações de apoio da treliça inteira.
  2. Método dos nós: comece em um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas e use ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
  3. Método das seções: corte a barra de que você precisa e tome momentos em relação a um ponto onde as outras barras desconhecidas se encontram.
  4. Suponha tração; uma resposta negativa significa compressão.

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão
δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada
δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta
δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposição
δ = δ1 + δ2

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo
K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica
σcr = Pcr/A
Esbeltez
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Reações de apoio em vigasMédia
w0​ = 8 kN/mABRA​ = ?8 m

A viga simplesmente apoiada (apoio fixo em A, apoio móvel em B) suporta uma carga linearmente variável que cresce de zero em A até 8 kN/m em B. Encontre a reação vertical de apoio RA.

L = 8 mw0 = 8 kN/m
RA = kN
2.Reações de apoio em vigasDifícil
w = 10 kN/mP = 60 kNABRA​RB​ = ?2 m1 m2 m1 m

A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Encontre a reação vertical de apoio RB.

L = 6 mP = 60 kN em 3 mw = 10 kN/m de 2 a 5 m
RB = kN
3.Esforço cortante e momento fletorMédia
P1​ = 10 kNP2​ = 70 kNAB1 m0,5 m3,5 m

A viga simplesmente apoiada suporta duas cargas concentradas. Encontre o momento fletor máximo Mmax na viga.

L = 5 mP1 = 10 kN em 1 mP2 = 70 kN em 1,5 m
Mmax = kN·m
4.Esforço cortante e momento fletorDifícil
6 kN/m10 kN20 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

10 kN @ 6 m20 kN @ 2 m6 kN/m, 0–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
5.Treliça: método dos nósMédia
ABBCACACB20 kN6 m5 m2 m

Use o método dos nós para encontrar a força FBC na barra BC. Dê tração como positiva e compressão como negativa.

vão = 6 maltura = 2 mB está a 5 m de Acarga vertical = 20 kN
FBC = kN
6.Treliça: método dos nósDifícil
ABBCACACB30 kN5 kN5 m2 m4 m

Use o método dos nós para encontrar a força FAC na barra AC. Dê tração como positiva e compressão como negativa.

vão = 5 maltura = 4 mB está a 2 m de Acarga vertical = 30 kNcarga horizontal = 5 kN →
FAC = kN
7.Deflexão da vigaMédia
P = 6 kNABδ5 m1 m

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga concentrada P a a = 5 m do apoio A. Encontre a deflexão δP sob a carga.

P = 6 kNa = 5 mL = 6 mE = 11 GPa (madeira estrutural)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Deflexão da vigaDifícil
w = 10 kN/mδL = 2,5 m

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w. Sua deflexão não pode passar de vão/360. Encontre o menor momento de inércia Ireq que atende a esse limite.

w = 10 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (aço)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Flambagem de pilaresMédia
PL = 2 md = 30 mmseção transversal

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado na base e articulado no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem Pcr.

L = 2 mE = 200 GPa (aço)d = 30 mm
Pcr = kN
10.Flambagem de pilaresDifícil
P = 135 kNL = 3 md = ?seção transversal

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de aço está engastado na base e articulado no topo. Ele deve suportar 135 kN com um fator de segurança de 3 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 135 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (aço)
d = mm

3Soluções

1.Reações de apoio em vigas

Resposta: RA = 10,67 kN

Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Substitua cada carga distribuída pela sua resultante (a sua área) atuando no centroide do diagrama de carga, e tome momentos em relação a um apoio para eliminar a reação desse apoio da equação.

Resultante da carga triangular

W = ½·8·8 = 32 kN
x̄ = 2L/3 = 5,333 m

Equilíbrio

Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário. Depois o equilíbrio das forças verticais.

ΣMA = 0: RB·8 = 32·5,333
RB = 21,33 kN
RA = 32 − 21,33 = 10,67 kN

Resposta

RA = 10,67 kN
2.Reações de apoio em vigas

Resposta: RB = 47,5 kN

Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Tomar momentos em relação a um apoio elimina a reação desse apoio da equação.

w = 10 kN/mP = 60 kNABRA​RB​2 m1 m2 m1 m

Diagrama de corpo livre

Substitua os apoios por forças de reação. Um apoio móvel dá uma reação vertical; com apenas cargas verticais, o apoio fixo também dá uma reação vertical.

Equilíbrio

Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário. Depois o equilíbrio das forças verticais.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 10·3 = 30 kN, atuando em x̄ = 3,5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 60·3 + 10·3·3,5
RB = 285/6 = 47,5 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 47,5 = 42,5 kN

Resposta

RB = 47,5 kN
3.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: Mmax = 80,5 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

ΣMA = 0: RB·5 = 10·1 + 70·1,5
RB = 115/5 = 23 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 23 = 57 kN

Momento sob cada carga

Fique com a parte à esquerda de cada carga.

sob P1: M = RA·1 = 57·1 = 57 kN·m
sob P2: M = RB·3,5 = 23·3,5 = 80,5 kN·m

Maior valor

Mmax = 80,5 kN·m (sob P2)

Resposta

Mmax = 80,5 kN·m
4.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: C (x = 2 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R1 = 25 kN, R2 = 35 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

MA = 0, MB = 22, MC = 38 kN·m, MD = 28, ME = 12, MF = −10, MG = 0

Resposta

Marca C: MC = 38 kN·m
5.Treliça: método dos nós

Resposta: FBC = −18,63 kN

Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣFx = 0 e ΣFy = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.

ABBCACACB20 kNAy​Cy​

Reações de apoio

Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.

ΣMA = 0: Cy·6 = 20·5 → Cy = 16,67 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 16,67 = 3,333 kN

Nó C

O apoio móvel dá apenas uma reação vertical, então o nó C tem só duas forças de barra desconhecidas. Suponha ambas tracionadas.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −16,67/0,8944 = −18,63 kN

Resposta

FBC = −18,63 kN (compressão)
6.Treliça: método dos nós

Resposta: FAC = 12 kN

Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣFx = 0 e ΣFy = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.

ABBCACACB30 kN5 kNAy​Cy​Ax​

Reações de apoio

Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.

ΣMA = 0: Cy·5 = 30·2 + 5·4 → Cy = 16 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 16 = 14 kN
ΣFx = 0: Ax = −5 kN

Nó C

O apoio móvel dá apenas uma reação vertical, então o nó C tem só duas forças de barra desconhecidas. Suponha ambas tracionadas.

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −16/0,8 = −20 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−20)·0,6 = 12 kN

Resposta

FAC = 12 kN (tração)
7.Deflexão da viga

Resposta: δP = 21,04 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 6000 N, a = 5000 mm, b = 1000 mm, L = 6000 mm
EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Deflexão sob a carga

δP = Pa²b²/(3EIL) = 6000·5000²·1000²/(3·3,96 × 10¹¹·6000) = 21,04 mm

Resposta

δP = 21,04 mm
8.Deflexão da viga

Resposta: Ireq = 3,662 × 10⁶ mm⁴

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Limite de deflexão

δallow = L/360 = 2500/360 = 6,944 mm

Momento de inércia necessário

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·10·2500⁴/(384·200000·6,944) = 3,662 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 3,662 × 10⁶ mm⁴

Resposta

Ireq = 3,662 × 10⁶ mm⁴
9.Flambagem de pilares

Resposta: Pcr = 40,04 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em Pcr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1400² = 40043 N = 40,04 kN

Resposta

Pcr = 40,04 kN
10.Flambagem de pilares

Resposta: d = 65,52 mm

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em Pcr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Carga crítica necessária

Pcr = n·P = 3·135000 = 405000 N
KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·405000·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 65,52 mm

Resposta

d = 65,52 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 128,2, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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