Análise Estrutural: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Reações de apoio em vigas

Equilíbrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L no meio da carga
Momento
M = F·d

Método

  1. Desenhe um diagrama de corpo livre e substitua cada apoio por suas reações.
  2. Substitua cada carga distribuída por uma única força no seu centroide.
  3. Tome momentos em relação a um apoio para encontrar a reação no outro.
  4. Use ΣFy = 0 para encontrar a reação restante e confira com uma segunda equação de momentos.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento
V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão
σ = M·y/I
Retângulo
I = bh³/12
Módulo de resistência
W = I/ymax
Viga biapoiada, carga uniforme
Mmax = wL²/8

Método

  1. Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
  2. Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
  3. Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
  4. Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Treliça: método dos nós

Método dos nós
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método das seções
ΣM = 0 about a cut point
Esforço na barra
positivo = tração, negativo = compressão

Método

  1. Encontre as reações de apoio da treliça inteira.
  2. Método dos nós: comece em um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas e use ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
  3. Método das seções: corte a barra de que você precisa e tome momentos em relação a um ponto onde as outras barras desconhecidas se encontram.
  4. Suponha tração; uma resposta negativa significa compressão.

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão
δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada
δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta
δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposição
δ = δ1 + δ2

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo
K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica
σcr = Pcr/A
Esbeltez
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Reações de apoio em vigasMédia
w = 2 kN/mP = 10 kNABRA​ = ?4,5 m1,5 m

A viga em balanço está engastada na parede em A. Ela suporta uma carga uniformemente distribuída w da parede até 4,5 m e uma carga concentrada P a 6 m da parede. Encontre a reação vertical RA na parede.

L = 6 mP = 10 kN em 6 mw = 2 kN/m de 0 a 4,5 m
RA = kN
2.Reações de apoio em vigasDifícil
w = 3 kN/mP = 75 kNABCRA​ = ?2 m2 m4 m2 m

A viga tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B, a 8 m de A, e se estende em balanço além de B até a extremidade livre C. Ela suporta uma carga concentrada P a 2 m de A e uma carga uniformemente distribuída w de 4 m até a extremidade livre em 10 m. Encontre a reação vertical RA, considerando positivo para cima.

AB = 8 mAC = 10 mP = 75 kN em 2 mw = 3 kN/m de 4 a 10 m
RA = kN
3.Esforço cortante e momento fletorMédia
w = 12 kN/mABseção1 m9 m

Encontre o momento fletor Mx na seção x = 1 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 10 mw = 12 kN/m de 0 a 10 mx = 1 m
Mx = kN·m
4.Esforço cortante e momento fletorDifícil
15 kN10 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

15 kN @ 0 m10 kN @ 12 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.Treliça: método dos nósMédia
ABCDEFGH40 kN25 kN30 kN15 kN4 × 3 m3 m

Exatamente um membro desta treliça não suporta força sob estas cargas. Qual é o membro de força nula? Clique nele no diagrama.

B: 40 kN ↓D: 25 kN ↓F: 30 kN ↓G: 15 kN ↓
  1. 1membro AB
  2. 2membro BC
  3. 3membro CD
  4. 4membro DE
  5. 5membro FG
  6. 6membro GH
  7. 7membro AF
  8. 8membro HE
  9. 9membro BF
  10. 10membro CG
  11. 11membro DH
  12. 12membro BG
  13. 13membro DG
6.Treliça: método dos nósDifícil
ABBCACACB35 kN10 kN8 m3 m2 m

Use o método dos nós para encontrar a força FAC na barra AC. Dê tração como positiva e compressão como negativa.

vão = 8 maltura = 2 mB está a 3 m de Acarga vertical = 35 kNcarga horizontal = 10 kN →
FAC = kN
7.Deflexão da vigaMédia
P = 9 kNABδ5,5 m2,5 m

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga concentrada P a a = 5,5 m do apoio A. Encontre a deflexão δP sob a carga.

P = 9 kNa = 5,5 mL = 8 mE = 200 GPa (aço)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Deflexão da vigaDifícil
w = 12 kN/mδL = 2 m

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w. Sua deflexão não pode passar de vão/360. Encontre o menor momento de inércia Ireq que atende a esse limite.

w = 12 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (alumínio)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Flambagem de pilaresMédia
PL = 5 m25 × 80 mmseção transversal

Um pilar de comprimento L feito de aço está articulado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem Pcr.

L = 5 mE = 200 GPa (aço)b × h = 25 × 80 mm
Pcr = kN
10.Flambagem de pilaresDifícil
PL = 1 md = 30 mmseção transversal

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e articulado no topo. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σcr pela fórmula de Euler.

L = 1 mE = 70 GPa (alumínio)d = 30 mm
σcr = MPa

3Soluções

1.Reações de apoio em vigas

Resposta: RA = 19 kN

Equilíbrio de balanços: um engaste pode empurrar para cima e também impedir a rotação, então dá uma reação vertical RA e um momento de reação MA. ΣFy = 0 dá RA, e os momentos em relação à parede dão MA = Σ(carga × distância até a parede). Uma carga distribuída atua como sua resultante no centroide do diagrama de carga.

Resultante da carga distribuída

W = 2·4,5 = 9 kN, x̄ = 2,25 m

Equilíbrio vertical

RA = P + W = 10 + 9 = 19 kN

Resposta

RA = 19 kN
2.Reações de apoio em vigas

Resposta: RA = 58,5 kN

Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Substitua cada carga distribuída pela sua resultante (a sua área) atuando no centroide do diagrama de carga, e tome momentos em relação a um apoio para eliminar a reação desse apoio da equação.

Resultante da carga distribuída

W = 3·6 = 18 kN, x̄ = (4 + 10)/2 = 7 m

Equilíbrio

Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário. Depois o equilíbrio das forças verticais.

ΣMA = 0: RB·8 = 75·2 + 18·7
RB = 276/8 = 34,5 kN
RA = 93 − 34,5 = 58,5 kN

Resposta

RA = 58,5 kN
3.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: Mx = 54 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, atuando em x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 12·10·5
RB = 600/10 = 60 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 60 = 60 kN
w = 12 kN/mABRA​ = 60RB​ = 60seção1 m9 m

Corte em x = 1 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = RA·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)
Mx = 60·1 − 12·1·0,5 = 54 kN·m

Resposta

Mx = 54 kN·m
4.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: E (x = 8 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R1 = 13,33 kN, R2 = 11,67 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

MA = 0, MB = −30, MC = −33,33, MD = −36,67, ME = −40 kN·m, MF = −20, MG = 0

Resposta

Marca E: ME = −40 kN·m
5.Treliça: método dos nós

Resposta: membro CG

Membros de força nula: em um nó, as forças devem se equilibrar em todas as direções. Se um nó não tem carga nem apoio, e dois de seus três membros estão alinhados, então o equilíbrio na direção perpendicular a essa linha envolve apenas o terceiro membro, e portanto sua força é zero. Se apenas dois membros se encontram em um nó sem carga e não estão alinhados, ambos são nulos.

Nó C

BC e CD estão em uma mesma reta e o nó não tem carga. Equilibrar as forças na direção perpendicular a essa reta deixa apenas CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Verifique com o método dos nós

Resolver todos os nós dá estas forças nos membros (T = tração, C = compressão).

AB: 66,25 kN (T), BC: 62,5 kN (T), CD: 62,5 kN (T), DE: 43,75 kN (T), FG: 66,25 kN (C), GH: 43,75 kN (C), AF: 93,69 kN (C), HE: 61,87 kN (C), BF: 36,25 kN (T), CG: 0, DH: 43,75 kN (T), BG: 5,303 kN (T), DG: 26,52 kN (C)

Resposta

Membro de força nula: CG
6.Treliça: método dos nós

Resposta: FAC = 39,06 kN

Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣFx = 0 e ΣFy = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.

ABBCACACB35 kN10 kNAy​Cy​Ax​

Reações de apoio

Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.

ΣMA = 0: Cy·8 = 35·3 + 10·2 → Cy = 15,63 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 15,63 = 19,38 kN
ΣFx = 0: Ax = −10 kN

Nó C

O apoio móvel dá apenas uma reação vertical, então o nó C tem só duas forças de barra desconhecidas. Suponha ambas tracionadas.

sin γ = 2/5,385 = 0,3714, cos γ = 5/5,385 = 0,9285
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −15,63/0,3714 = −42,07 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−42,07)·0,9285 = 39,06 kN

Resposta

FAC = 39,06 kN (tração)
7.Deflexão da viga

Resposta: δP = 15,41 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 9000 N, a = 5500 mm, b = 2500 mm, L = 8000 mm
EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Deflexão sob a carga

δP = Pa²b²/(3EIL) = 9000·5500²·2500²/(3·4,6 × 10¹²·8000) = 15,41 mm

Resposta

δP = 15,41 mm
8.Deflexão da viga

Resposta: Ireq = 6,429 × 10⁶ mm⁴

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Limite de deflexão

δallow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Momento de inércia necessário

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·12·2000⁴/(384·70000·5,556) = 6,429 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 6,429 × 10⁶ mm⁴

Resposta

Ireq = 6,429 × 10⁶ mm⁴
9.Flambagem de pilares

Resposta: Pcr = 8,225 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em Pcr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

Imin = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 1·5000 = 5000 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/5000² = 8225 N = 8,225 kN

Resposta

Pcr = 8,225 kN
10.Flambagem de pilares

Resposta: σcr = 79,31 MPa

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em Pcr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 0,7·1000 = 700 mm
KL/r = 700/7,5 = 93,33

Tensão crítica

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/93,33² = 79,31 MPa

Resposta

σcr = 79,31 MPa

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