Análise Estrutural: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Reações de apoio em vigas

Equilíbrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L no meio da carga
Momento
M = F·d

Método

  1. Desenhe um diagrama de corpo livre e substitua cada apoio por suas reações.
  2. Substitua cada carga distribuída por uma única força no seu centroide.
  3. Tome momentos em relação a um apoio para encontrar a reação no outro.
  4. Use ΣFy = 0 para encontrar a reação restante e confira com uma segunda equação de momentos.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento
V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão
σ = M·y/I
Retângulo
I = bh³/12
Módulo de resistência
W = I/ymax
Viga biapoiada, carga uniforme
Mmax = wL²/8

Método

  1. Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
  2. Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
  3. Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
  4. Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Treliça: método dos nós

Método dos nós
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método das seções
ΣM = 0 about a cut point
Esforço na barra
positivo = tração, negativo = compressão

Método

  1. Encontre as reações de apoio da treliça inteira.
  2. Método dos nós: comece em um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas e use ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
  3. Método das seções: corte a barra de que você precisa e tome momentos em relação a um ponto onde as outras barras desconhecidas se encontram.
  4. Suponha tração; uma resposta negativa significa compressão.

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão
δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada
δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta
δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposição
δ = δ1 + δ2

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo
K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica
σcr = Pcr/A
Esbeltez
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Reações de apoio em vigasMédia
w = 12 kN/mP = 20 kNABMA​ = ?4,5 m0,5 m

A viga em balanço está engastada na parede em A. Ela suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento e uma carga concentrada P a 4,5 m da parede. Encontre o módulo do momento de reação MA na parede.

L = 5 mP = 20 kN em 4,5 mw = 12 kN/m de 0 a 5 m
MA = kN·m
2.Reações de apoio em vigasDifícil
w = 6 kN/mP = 15 kNQ = 65 kNADCMA​ = ?2 m1 m1 m6 m

Uma viga composta está engastada na parede em A, tem uma rótula interna em C (a 3 m de A) e se apoia em um apoio móvel em D (a 10 m de A). Ela suporta uma carga concentrada P a 4 m de A, uma carga uniformemente distribuída w em todo o trecho CD e uma carga concentrada Q a 2 m de A. Encontre o módulo do momento de reação MA na parede.

AC = 3 mAD = 10 mP = 15 kN em 4 mw = 6 kN/m de 3 a 10 mQ = 65 kN em 2 m
MA = kN·m
3.Esforço cortante e momento fletorMédia
20 kN60 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

20 kN @ 4 m60 kN @ 3 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
4.Esforço cortante e momento fletorDifícil
w = 5 kN/mP = 45 kNABseção3 m1 m1 m

Encontre o momento fletor Mx na seção x = 3 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 5 mP = 45 kN em 4 mw = 5 kN/m de 0 a 5 mx = 3 m
Mx = kN·m
5.Treliça: método dos nósMédia
ABCDEFGH10 kN20 kN40 kN40 kN4 × 4 m3 m

Exatamente um membro desta treliça não suporta força sob estas cargas. Qual é o membro de força nula? Clique nele no diagrama.

B: 10 kN ↓C: 20 kN ↓F: 40 kN ↓G: 40 kN ↓
  1. 1membro AB
  2. 2membro BC
  3. 3membro CD
  4. 4membro DE
  5. 5membro FG
  6. 6membro GH
  7. 7membro AF
  8. 8membro HE
  9. 9membro BF
  10. 10membro CG
  11. 11membro DH
  12. 12membro FC
  13. 13membro HC
6.Treliça: método dos nósDifícil
ABCDEFGH30 kN40 kN25 kN20 kN15 kN4 × 4 m4 m

Exatamente um membro desta treliça não suporta força sob estas cargas. Qual é o membro de força nula? Clique nele no diagrama.

B: 30 kN ↓C: 40 kN ↓F: 25 kN →G: 20 kN ↓H: 15 kN ↓
  1. 1membro AB
  2. 2membro BC
  3. 3membro CD
  4. 4membro DE
  5. 5membro FG
  6. 6membro GH
  7. 7membro AF
  8. 8membro HE
  9. 9membro BF
  10. 10membro CG
  11. 11membro DH
  12. 12membro FC
  13. 13membro HC
7.Deflexão da vigaMédia
w = 2 kN/mP = 22 kNABδ1,5 m

Uma viga em balanço suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento e uma carga concentrada P na extremidade livre. Usando superposição, encontre a deflexão δ na extremidade livre.

P = 22 kNw = 2 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (madeira estrutural)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Deflexão da vigaDifícil
w = 15 kN/mAB3 m

Uma viga engastada e apoiada está engastada em A e simplesmente apoiada em B. Ela suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento. EI é constante. Encontre o módulo do momento fletor MA no engaste.

L = 3 mw = 15 kN/m
MA = kN·m
9.Flambagem de pilaresMédia
PL = 2 m50 × 60 mmseção transversal

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado na base e articulado no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem Pcr.

L = 2 mE = 200 GPa (aço)b × h = 50 × 60 mm
Pcr = kN
10.Flambagem de pilaresDifícil
P = 30 kNL = 1,5 md = ?seção transversal

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de aço está engastado na base e livre no topo. Ele deve suportar 30 kN com um fator de segurança de 2 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 30 kNn = 2L = 1,5 mE = 200 GPa (aço)
d = mm

3Soluções

1.Reações de apoio em vigas

Resposta: MA = 240 kN·m

Equilíbrio de balanços: um engaste pode empurrar para cima e também impedir a rotação, então dá uma reação vertical RA e um momento de reação MA. ΣFy = 0 dá RA, e os momentos em relação à parede dão MA = Σ(carga × distância até a parede). Uma carga distribuída atua como sua resultante no centroide do diagrama de carga.

Resultante da carga distribuída

W = 12·5 = 60 kN, x̄ = 2,5 m

Momento em relação à parede

MA = P·a + W·x̄ = 20·4,5 + 60·2,5 = 240 kN·m

Resposta

MA = 240 kN·m
2.Reações de apoio em vigas

Resposta: MA = 231,6 kN·m

Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Substitua cada carga distribuída pela sua resultante (a sua área) atuando no centroide do diagrama de carga, e tome momentos em relação a um apoio para eliminar a reação desse apoio da equação. Uma rótula interna não pode transmitir momento fletor, o que dá uma equação adicional: o momento em relação à rótula das forças de qualquer um dos lados é zero.

Trecho CD

A rótula não tem momento, então os momentos em relação a C só no trecho CD devem se equilibrar.

W = 6·7 = 42 kN em 3,5 m a partir de C
ΣMC = 0: RD·7 = 15·1 + 42·3,5
RD = 23,14 kN
VC = 57 − 23,14 = 33,86 kN

Trecho AC

A força na rótula VC atua para baixo em AC (igual e oposta à sua ação em CD).

RA = 65 + 33,86 = 98,86 kN
MA = 65·2 + 33,86·3 = 231,6 kN·m

Resposta

MA = 231,6 kN·m
3.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: D (x = 3 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R1 = 36,67 kN, R2 = 43,33 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

MA = 0, MB = 36,67, MC = 73,33, MD = 110 kN·m, ME = 86,67, MF = 43,33, MG = 0

Resposta

Marca D: MD = 110 kN·m
4.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: Mx = 42 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, atuando em x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 45·4 + 5·5·2,5
RB = 242,5/5 = 48,5 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 48,5 = 21,5 kN
w = 5 kN/mP = 45 kNABRA​ = 21,5RB​ = 48,5seção3 m1 m1 m

Corte em x = 3 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = RA·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)
Mx = 21,5·3 − 5·3·1,5 = 42 kN·m

Resposta

Mx = 42 kN·m
5.Treliça: método dos nós

Resposta: membro DH

Membros de força nula: em um nó, as forças devem se equilibrar em todas as direções. Se um nó não tem carga nem apoio, e dois de seus três membros estão alinhados, então o equilíbrio na direção perpendicular a essa linha envolve apenas o terceiro membro, e portanto sua força é zero. Se apenas dois membros se encontram em um nó sem carga e não estão alinhados, ambos são nulos.

Nó D

CD e DE estão em uma mesma reta e o nó não tem carga. Equilibrar as forças na direção perpendicular a essa reta deixa apenas DH.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

Verifique com o método dos nós

Resolver todos os nós dá estas forças nos membros (T = tração, C = compressão).

AB: 90 kN (T), BC: 90 kN (T), CD: 56,67 kN (T), DE: 56,67 kN (T), FG: 113,3 kN (C), GH: 113,3 kN (C), AF: 112,5 kN (C), HE: 70,83 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 40 kN (C), DH: 0, FC: 29,17 kN (T), HC: 70,83 kN (T)

Resposta

Membro de força nula: DH
6.Treliça: método dos nós

Resposta: membro DH

Membros de força nula: em um nó, as forças devem se equilibrar em todas as direções. Se um nó não tem carga nem apoio, e dois de seus três membros estão alinhados, então o equilíbrio na direção perpendicular a essa linha envolve apenas o terceiro membro, e portanto sua força é zero. Se apenas dois membros se encontram em um nó sem carga e não estão alinhados, ambos são nulos.

Nó D

CD e DE estão em uma mesma reta e o nó não tem carga. Equilibrar as forças na direção perpendicular a essa reta deixa apenas DH.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

Verifique com o método dos nós

Resolver todos os nós dá estas forças nos membros (T = tração, C = compressão).

AB: 75 kN (T), BC: 75 kN (T), CD: 55 kN (T), DE: 55 kN (T), FG: 95 kN (C), GH: 95 kN (C), AF: 70,71 kN (C), HE: 77,78 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 20 kN (C), DH: 0, FC: 28,28 kN (T), HC: 56,57 kN (T)

Resposta

Membro de força nula: DH
7.Deflexão da viga

Resposta: δ = 28,16 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 22000 N, w = 2 N/mm, L = 1500 mm
EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Cada carga sozinha

δP = PL³/(3EI) = 22000·1500³/(3·9,24 × 10¹¹) = 26,79 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 2·1500⁴/(8·9,24 × 10¹¹) = 1,37 mm

Some

δ = 26,79 + 1,37 = 28,16 mm

Resposta

δ = 28,16 mm
8.Deflexão da viga

Resposta: MA = 16,88 kN·m

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição). Para uma viga estaticamente indeterminada, retire um apoio redundante e exija que a deflexão ali seja zero (compatibilidade).

Retire o apoio

Sem o apoio a viga é um balanço. Sua extremidade livre defletiria sob a carga.

δload = wL⁴/(8EI)

Compatibilidade no apoio

A força do apoio RB sozinha levanta a extremidade livre em RBL³/(3EI). O apoio mantém B com deflexão zero, então as duas devem se anular. EI se cancela.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·15·3/8 = 16,88 kN

Momento no engaste

Momentos em relação a A das cargas e da força do apoio.

MA = wL²/2 − RB·L = 67,5 − 50,63 = 16,88 kN·m

Resposta

MA = 16,88 kN·m
9.Flambagem de pilares

Resposta: Pcr = 629,4 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em Pcr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

Imin = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·625000/1400² = 629439 N = 629,4 kN

Resposta

Pcr = 629,4 kN
10.Flambagem de pilares

Resposta: d = 48,59 mm

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em Pcr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Carga crítica necessária

Pcr = n·P = 2·30000 = 60000 N
KL = 2·1500 = 3000 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·60000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 48,59 mm

Resposta

d = 48,59 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 247, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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