Análise Estrutural: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercícios Voltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Reações de apoio em vigas

Equilíbrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carga uniforme: resultante w·L no meio da carga
Momento: M = F·d

Método

Desenhe um diagrama de corpo livre e substitua cada apoio por suas reações.
Substitua cada carga distribuída por uma única força no seu centroide.
Tome momentos em relação a um apoio para encontrar a reação no outro.
Use ΣF_y = 0 para encontrar a reação restante e confira com uma segunda equação de momentos.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Treliça: método dos nós

Método dos nós: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Método das seções: ΣM = 0 about a cut point
Esforço na barra: positivo = tração, negativo = compressão

Método

Encontre as reações de apoio da treliça inteira.
Método dos nós: comece em um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas e use ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0.
Método das seções: corte a barra de que você precisa e tome momentos em relação a um ponto onde as outras barras desconhecidas se encontram.
Suponha tração; uma resposta negativa significa compressão.

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Reações de apoio em vigasMédia

A viga em balanço está engastada na parede em A. Ela suporta uma carga uniformemente distribuída w da parede até 7 m e uma carga concentrada P a 3 m da parede. Encontre a reação vertical R_A na parede.

L = 10 mP = 30 kN em 3 mw = 12 kN/m de 0 a 7 m

R_A = kN

2.Reações de apoio em vigasDifícil

Uma viga composta está engastada na parede em A, tem uma rótula interna em C (a 5 m de A) e se apoia em um apoio móvel em D (a 10 m de A). Ela suporta uma carga concentrada P a 9 m de A, uma carga uniformemente distribuída w em todo o trecho CD. Encontre o módulo do momento de reação M_A na parede.

AC = 5 mAD = 10 mP = 10 kN em 9 mw = 12 kN/m de 5 a 10 m

M_A = kN·m

3.Esforço cortante e momento fletorMédia

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 5,5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 6 mw = 8 kN/m de 0 a 6 mx = 5,5 m

M_x = kN·m

4.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga se apoia em um apoio fixo em A e em um apoio móvel em B e se estende 1,5 m além de B, em balanço, até a extremidade livre C. Uma carga uniformemente distribuída w atua em todo o comprimento A–C. Encontre o momento fletor positivo máximo M_max entre os apoios.

L = 5,5 mw = 5 kN/m de 0 a 5,5 mapoios em x = 0 e x = 4 m

M_max = kN·m

5.Treliça: método dos nósMédia

Exatamente um membro desta treliça não suporta força sob estas cargas. Qual é o membro de força nula? Clique nele no diagrama.

B: 25 kN ↓F: 10 kN ↓G: 35 kN ↓

1membro AB
2membro BC
3membro CD
4membro DE
5membro FG
6membro GH
7membro AF
8membro HE
9membro BF
10membro CG
11membro DH
12membro FC
13membro HC

6.Treliça: método dos nósDifícil

Use o método dos nós para encontrar a força F_BC na barra BC. Dê tração como positiva e compressão como negativa.

vão = 8 maltura = 3 mB está a 2 m de Acarga vertical = 25 kNcarga horizontal = 25 kN ←

F_BC = kN

7.Deflexão da vigaMédia

Uma viga em balanço suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento. Encontre a deflexão δ na extremidade livre.

w = 20 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (alumínio)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w e uma carga concentrada P no meio do vão. Usando superposição, encontre a deflexão no meio do vão δ_max.

P = 20 kNw = 5 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (alumínio)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado na base e livre no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (aço)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

10.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado nas duas extremidades. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 5 mE = 70 GPa (alumínio)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Reações de apoio em vigas

Resposta: R_A = 114 kN

Equilíbrio de balanços: um engaste pode empurrar para cima e também impedir a rotação, então dá uma reação vertical R_A e um momento de reação M_A. ΣF_y = 0 dá R_A, e os momentos em relação à parede dão M_A = Σ(carga × distância até a parede). Uma carga distribuída atua como sua resultante no centroide do diagrama de carga.

Resultante da carga distribuída

W = 12·7 = 84 kN, x̄ = 3,5 m

Equilíbrio vertical

R_A = P + W = 30 + 84 = 114 kN

Resposta

R_A = 114 kN

2.Reações de apoio em vigas

Resposta: M_A = 160 kN·m

Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Substitua cada carga distribuída pela sua resultante (a sua área) atuando no centroide do diagrama de carga, e tome momentos em relação a um apoio para eliminar a reação desse apoio da equação. Uma rótula interna não pode transmitir momento fletor, o que dá uma equação adicional: o momento em relação à rótula das forças de qualquer um dos lados é zero.

Trecho CD

A rótula não tem momento, então os momentos em relação a C só no trecho CD devem se equilibrar.

W = 12·5 = 60 kN em 2,5 m a partir de C

ΣM_C = 0: R_D·5 = 10·4 + 60·2,5

R_D = 38 kN

V_C = 70 − 38 = 32 kN

Trecho AC

A força na rótula V_C atua para baixo em AC (igual e oposta à sua ação em CD).

R_A = 32 = 32 kN

M_A = 32·5 = 160 kN·m

Resposta

M_A = 160 kN·m

3.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 11 kN·m

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, atuando em x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 8·6·3

R_B = 144/6 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

Corte em x = 5,5 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 24·5,5 − 8·5,5·2,75 = 11 kN·m

Resposta

M_x = 11 kN·m

4.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 7,385 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira, incluindo a carga no balanço.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 5·5,5 = 27,5 kN, atuando em x̄ = 2,75 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 5·5,5·2,75

R_B = 75,63/4 = 18,91 kN

ΣF_y = 0: R_A = 27,5 − 18,91 = 8,594 kN

Cortante nulo

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 8,594/5 = 1,719 m

Momento positivo máximo

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 8,594²/(2·5) = 7,385 kN·m

Resposta

M_max = 7,385 kN·m

5.Treliça: método dos nós

Resposta: membro DH

Membros de força nula: em um nó, as forças devem se equilibrar em todas as direções. Se um nó não tem carga nem apoio, e dois de seus três membros estão alinhados, então o equilíbrio na direção perpendicular a essa linha envolve apenas o terceiro membro, e portanto sua força é zero. Se apenas dois membros se encontram em um nó sem carga e não estão alinhados, ambos são nulos.

Nó D

CD e DE estão em uma mesma reta e o nó não tem carga. Equilibrar as forças na direção perpendicular a essa reta deixa apenas DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Verifique com o método dos nós

Resolver todos os nós dá estas forças nos membros (T = tração, C = compressão).

AB: 32,81 kN (T), BC: 32,81 kN (T), CD: 19,69 kN (T), DE: 19,69 kN (T), FG: 39,37 kN (C), GH: 39,37 kN (C), AF: 54,69 kN (C), HE: 32,81 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 35 kN (C), DH: 0, FC: 10,94 kN (T), HC: 32,81 kN (T)

Resposta

Membro de força nula: DH

6.Treliça: método dos nós

Resposta: F_BC = 6,988 kN

Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.

Reações de apoio

Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 25·2 − 25·3 → C_y = −3,125 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − −3,125 = 28,13 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

Nó C

O apoio móvel dá apenas uma reação vertical, então o nó C tem só duas forças de barra desconhecidas. Suponha ambas tracionadas.

sin γ = 3/6,708 = 0,4472, cos γ = 6/6,708 = 0,8944

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−3,125/0,4472 = 6,988 kN

Resposta

F_BC = 6,988 kN (tração)

7.Deflexão da viga

Resposta: δ = 15,87 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 2000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Deflexão

δ = wL⁴/(8EI) = 20·2000⁴/(8·2,52 × 10¹²) = 15,87 mm

Resposta

δ = 15,87 mm

8.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 8,283 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 20000 N, w = 5 N/mm, L = 5000 mm, EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Cada carga sozinha

δ_P = PL³/(48EI) = 20000·5000³/(48·1,12 × 10¹³) = 4,65 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·5000⁴/(384·1,12 × 10¹³) = 3,633 mm

Some

δ_max = 4,65 + 3,633 = 8,283 mm

Resposta

δ_max = 8,283 mm

9.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 33,69 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 2·2500 = 5000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·426667/5000² = 33688 N = 33,69 kN

Resposta

P_cr = 33,69 kN

10.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 24,87 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/15 = 166,7

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/166,7² = 24,87 MPa

Resposta

σ_cr = 24,87 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis