Análise Estrutural: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercícios Voltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Reações de apoio em vigas

Equilíbrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carga uniforme: resultante w·L no meio da carga
Momento: M = F·d

Método

Desenhe um diagrama de corpo livre e substitua cada apoio por suas reações.
Substitua cada carga distribuída por uma única força no seu centroide.
Tome momentos em relação a um apoio para encontrar a reação no outro.
Use ΣF_y = 0 para encontrar a reação restante e confira com uma segunda equação de momentos.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Treliça: método dos nós

Método dos nós: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Método das seções: ΣM = 0 about a cut point
Esforço na barra: positivo = tração, negativo = compressão

Método

Encontre as reações de apoio da treliça inteira.
Método dos nós: comece em um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas e use ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0.
Método das seções: corte a barra de que você precisa e tome momentos em relação a um ponto onde as outras barras desconhecidas se encontram.
Suponha tração; uma resposta negativa significa compressão.

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Reações de apoio em vigasMédia

A viga em balanço está engastada na parede em A. Ela suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento e uma carga concentrada P a 2,5 m da parede. Encontre o módulo do momento de reação M_A na parede.

L = 6 mP = 40 kN em 2,5 mw = 10 kN/m de 0 a 6 m

M_A = kN·m

2.Reações de apoio em vigasDifícil

A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Encontre a reação vertical de apoio R_A.

L = 4 mP = 55 kN em 1 mw = 6 kN/m de 2 a 4 m

R_A = kN

3.Esforço cortante e momento fletorMédia

A viga em balanço está engastada em A. Ela suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento e uma carga concentrada P a 4 m de A. Encontre o momento fletor M_x na seção x = 3 m a partir do engaste A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 4 mP = 50 kN em 4 mw = 12 kN/m de 0 a 4 mx = 3 m

M_x = kN·m

4.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão e uma carga concentrada P. Encontre o momento fletor máximo M_max na viga.

L = 4 mP = 70 kN em 1 mw = 2 kN/m de 0 a 4 m

M_max = kN·m

5.Treliça: método dos nósMédia

Exatamente um membro desta treliça não suporta força sob estas cargas. Qual é o membro de força nula? Clique nele no diagrama.

B: 10 kN ↓D: 20 kN ↓H: 35 kN ↓

1membro AB
2membro BC
3membro CD
4membro DE
5membro FG
6membro GH
7membro AF
8membro HE
9membro BF
10membro CG
11membro DH
12membro FC
13membro HC

6.Treliça: método dos nósDifícil

Use o método dos nós para encontrar a força F_BC na barra BC. Dê tração como positiva e compressão como negativa.

vão = 5 maltura = 3 mB está a 1 m de Acarga vertical = 15 kNcarga horizontal = 5 kN →

F_BC = kN

7.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a rotação θ_A da viga no apoio A, em radianos.

w = 8 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (aço)I = 36 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga concentrada P a b = 2 m do apoio B. Encontre a deflexão máxima δ_max da viga.

P = 27 kNb = 2 mL = 6 mE = 70 GPa (alumínio)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (aço)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

10.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de alumínio está articulado nas duas extremidades. Ele deve suportar 50 kN com um fator de segurança de 2,5 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 50 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 70 GPa (alumínio)

d = mm

3Soluções

1.Reações de apoio em vigas

Resposta: M_A = 280 kN·m

Equilíbrio de balanços: um engaste pode empurrar para cima e também impedir a rotação, então dá uma reação vertical R_A e um momento de reação M_A. ΣF_y = 0 dá R_A, e os momentos em relação à parede dão M_A = Σ(carga × distância até a parede). Uma carga distribuída atua como sua resultante no centroide do diagrama de carga.

Resultante da carga distribuída

W = 10·6 = 60 kN, x̄ = 3 m

Momento em relação à parede

M_A = P·a + W·x̄ = 40·2,5 + 60·3 = 280 kN·m

Resposta

M_A = 280 kN·m

2.Reações de apoio em vigas

Resposta: R_A = 44,25 kN

Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Tomar momentos em relação a um apoio elimina a reação desse apoio da equação.

Diagrama de corpo livre

Substitua os apoios por forças de reação. Um apoio móvel dá uma reação vertical; com apenas cargas verticais, o apoio fixo também dá uma reação vertical.

Equilíbrio

Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário. Depois o equilíbrio das forças verticais.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 6·2 = 12 kN, atuando em x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 55·1 + 6·2·3

R_B = 91/4 = 22,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 67 − 22,75 = 44,25 kN

Resposta

R_A = 44,25 kN

3.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = −56 kN·m

Fique com a parte da extremidade livre

P: −50·1 = −50 kN·m

w: −12·1²/2 = −6 kN·m

M_x = −50 − 6 = −56 kN·m

Resposta

M_x = −56 kN·m

Negativo significa tração na face superior.

4.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 55,5 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, atuando em x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 70·1 + 2·4·2

R_B = 86/4 = 21,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 78 − 21,5 = 56,5 kN

Onde V = 0?

V(1⁻) = R_A − w·1 = 54,5 kN

V(1⁺) = 54,5 − 70 = −15,5 kN

O cortante muda de sinal na carga, então o máximo fica sob a carga.

Momento máximo

M_max = R_A·1 − w·1²/2 = 56,5·1 − 2·1²/2 = 55,5 kN·m

Resposta

M_max = 55,5 kN·m

Ele ocorre em x = 1 m a partir de A.

5.Treliça: método dos nós

Resposta: membro CG

Membros de força nula: em um nó, as forças devem se equilibrar em todas as direções. Se um nó não tem carga nem apoio, e dois de seus três membros estão alinhados, então o equilíbrio na direção perpendicular a essa linha envolve apenas o terceiro membro, e portanto sua força é zero. Se apenas dois membros se encontram em um nó sem carga e não estão alinhados, ambos são nulos.

Nó G

FG e GH estão em uma mesma reta e o nó não tem carga. Equilibrar as forças na direção perpendicular a essa reta deixa apenas CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Verifique com o método dos nós

Resolver todos os nós dá estas forças nos membros (T = tração, C = compressão).

AB: 28,33 kN (T), BC: 28,33 kN (T), CD: 58,33 kN (T), DE: 58,33 kN (T), FG: 43,33 kN (C), GH: 43,33 kN (C), AF: 35,42 kN (C), HE: 72,92 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 0, DH: 20 kN (T), FC: 18,75 kN (T), HC: 18,75 kN (C)

Resposta

Membro de força nula: CG

6.Treliça: método dos nós

Resposta: F_BC = −10 kN

Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.

Reações de apoio

Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 15·1 + 5·3 → C_y = 6 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 6 = 9 kN

ΣF_x = 0: A_x = −5 kN

Nó C

O apoio móvel dá apenas uma reação vertical, então o nó C tem só duas forças de barra desconhecidas. Suponha ambas tracionadas.

sin γ = 3/5 = 0,6, cos γ = 4/5 = 0,8

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −6/0,6 = −10 kN

Resposta

F_BC = −10 kN (compressão)

7.Deflexão da viga

Resposta: θ_A = 0,01 rad

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição). A rotação θ = dv/dx é a primeira integral de M/(EI); em unidades consistentes ela sai em radianos.

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 6000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Rotação na extremidade

θ_A = wL³/(24EI) = 8·6000³/(24·7,2 × 10¹²) = 0,01 rad

Resposta

θ_A = 0,01 rad

Isso equivale a 0,573°.

8.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 64,91 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 27000 N, b = 2000 mm, L = 6000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Posição do máximo

Igualar a zero a rotação no trecho mais longo dá a posição.

x = √((L² − b²)/3) = √((6000² − 2000²)/3) = 3266 mm

Deflexão máxima

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 64,91 mm

Resposta

δ_max = 64,91 mm

9.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 131,6 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·266667/2000² = 131595 N = 131,6 kN

Resposta

P_cr = 131,6 kN

10.Flambagem de pilares

Resposta: d = 69,28 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 2,5·50000 = 125000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·125000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 69,28 mm

Resposta

d = 69,28 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 144,3, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis