Análise Estrutural: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Reações de apoio em vigas

Equilíbrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carga uniforme: resultante w·L no meio da carga
Momento: M = F·d

Método

Desenhe um diagrama de corpo livre e substitua cada apoio por suas reações.
Substitua cada carga distribuída por uma única força no seu centroide.
Tome momentos em relação a um apoio para encontrar a reação no outro.
Use ΣF_y = 0 para encontrar a reação restante e confira com uma segunda equação de momentos.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Treliça: método dos nós

Método dos nós: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Método das seções: ΣM = 0 about a cut point
Esforço na barra: positivo = tração, negativo = compressão

Método

Encontre as reações de apoio da treliça inteira.
Método dos nós: comece em um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas e use ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0.
Método das seções: corte a barra de que você precisa e tome momentos em relação a um ponto onde as outras barras desconhecidas se encontram.
Suponha tração; uma resposta negativa significa compressão.

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Reações de apoio em vigasMédia

A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Encontre a reação vertical de apoio R_B.

L = 5 mP₁ = 55 kN em 1,5 mP₂ = 55 kN em 2 m

R_B = kN

2.Reações de apoio em vigasDifícil

A viga em balanço está engastada na parede em A. Ela suporta uma carga linearmente variável que vale 10 kN/m na parede e cai até zero na extremidade livre B, além de uma carga concentrada P a 4,5 m da parede. Encontre o módulo do momento de reação M_A na parede.

L = 5 mw₀ = 10 kN/mP = 30 kN em 4,5 m

M_A = kN·m

3.Esforço cortante e momento fletorMédia

Encontre o esforço cortante V_x na seção x = 6,5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 8 mw = 4 kN/m de 0 a 8 mx = 6,5 m

V_x = kN

4.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão e uma carga concentrada P. Encontre o momento fletor máximo M_max na viga.

L = 10 mP = 60 kN em 7 mw = 10 kN/m de 0 a 10 m

M_max = kN·m

5.Treliça: método dos nósMédia

Exatamente um membro desta treliça não suporta força sob estas cargas. Qual é o membro de força nula? Clique nele no diagrama.

D: 25 kN ↓

1membro AB
2membro BC
3membro CD
4membro DE
5membro FG
6membro GH
7membro AF
8membro HE
9membro BF
10membro CG
11membro DH
12membro BG
13membro DG

6.Treliça: método dos nósDifícil

Use o método dos nós para encontrar a força F_AB na barra AB. Dê tração como positiva e compressão como negativa.

vão = 8 maltura = 3 mB está a 3 m de Acarga vertical = 45 kNcarga horizontal = 15 kN ←

F_AB = kN

7.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a rotação θ_A da viga no apoio A, em radianos.

w = 6 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (alumínio)I = 160 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w e uma carga concentrada P no meio do vão. Usando superposição, encontre a deflexão no meio do vão δ_max.

P = 22 kNw = 5 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (alumínio)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado na base e articulado no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (aço)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

10.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e livre no topo. Ele deve suportar 40 kN com um fator de segurança de 2 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 40 kNn = 2L = 6 mE = 70 GPa (alumínio)

d = mm

3Soluções

1.Reações de apoio em vigas

Resposta: R_B = 38,5 kN

Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Tomar momentos em relação a um apoio elimina a reação desse apoio da equação.

Diagrama de corpo livre

Substitua os apoios por forças de reação. Um apoio móvel dá uma reação vertical; com apenas cargas verticais, o apoio fixo também dá uma reação vertical.

Equilíbrio

Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário. Depois o equilíbrio das forças verticais.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 55·1,5 + 55·2

R_B = 192,5/5 = 38,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 38,5 = 71,5 kN

Resposta

R_B = 38,5 kN

2.Reações de apoio em vigas

Resposta: M_A = 176,7 kN·m

Equilíbrio de balanços: um engaste pode empurrar para cima e também impedir a rotação, então dá uma reação vertical R_A e um momento de reação M_A. ΣF_y = 0 dá R_A, e os momentos em relação à parede dão M_A = Σ(carga × distância até a parede). Uma carga distribuída atua como sua resultante no centroide do diagrama de carga.

Resultante da carga triangular

W = ½·10·5 = 25 kN

x̄ = L/3 = 1,667 m

Momento em relação à parede

M_A = W·x̄ + P·a = 25·1,667 + 30·4,5 = 176,7 kN·m

Resposta

M_A = 176,7 kN·m

3.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: V_x = −10 kN

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, atuando em x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 4·8·4

R_B = 128/8 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 16 = 16 kN

Corte em x = 6,5 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

V = R_A − (todas as cargas para baixo à esquerda do corte)

V_x = 16 − 4·6,5 = −10 kN

Resposta

V_x = −10 kN

4.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 231,2 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, atuando em x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 60·7 + 10·10·5

R_B = 920/10 = 92 kN

ΣF_y = 0: R_A = 160 − 92 = 68 kN

Onde V = 0?

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 68/10 = 6,8 m

Momento máximo

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = 68·6,8 − 10·6,8²/2 = 231,2 kN·m

Resposta

M_max = 231,2 kN·m

Ele ocorre em x = 6,8 m a partir de A.

5.Treliça: método dos nós

Resposta: membro CG

Membros de força nula: em um nó, as forças devem se equilibrar em todas as direções. Se um nó não tem carga nem apoio, e dois de seus três membros estão alinhados, então o equilíbrio na direção perpendicular a essa linha envolve apenas o terceiro membro, e portanto sua força é zero. Se apenas dois membros se encontram em um nó sem carga e não estão alinhados, ambos são nulos.

Nó C

BC e CD estão em uma mesma reta e o nó não tem carga. Equilibrar as forças na direção perpendicular a essa reta deixa apenas CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Verifique com o método dos nós

Resolver todos os nós dá estas forças nos membros (T = tração, C = compressão).

AB: 8,333 kN (T), BC: 16,67 kN (T), CD: 16,67 kN (T), DE: 25 kN (T), FG: 8,333 kN (C), GH: 25 kN (C), AF: 10,42 kN (C), HE: 31,25 kN (C), BF: 6,25 kN (T), CG: 0, DH: 18,75 kN (T), BG: 10,42 kN (C), DG: 10,42 kN (T)

Resposta

Membro de força nula: CG

6.Treliça: método dos nós

Resposta: F_AB = −47,73 kN

Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.

Reações de apoio

Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 45·3 − 15·3 → C_y = 11,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 11,25 = 33,75 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

Nó A

Suponha que toda barra está tracionada (puxando para fora do nó). Só AB tem componente vertical em A.

sin α = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −33,75/0,7071 = −47,73 kN

Resposta

F_AB = −47,73 kN (compressão)

7.Deflexão da viga

Resposta: θ_A = 0,00279 rad

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição). A rotação θ = dv/dx é a primeira integral de M/(EI); em unidades consistentes ela sai em radianos.

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 5000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Rotação na extremidade

θ_A = wL³/(24EI) = 6·5000³/(24·1,12 × 10¹³) = 0,00279 rad

Resposta

θ_A = 0,00279 rad

Isso equivale a 0,1599°.

8.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 59,68 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 22000 N, w = 5 N/mm, L = 8000 mm, EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Cada carga sozinha

δ_P = PL³/(48EI) = 22000·8000³/(48·8,4 × 10¹²) = 27,94 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·8000⁴/(384·8,4 × 10¹²) = 31,75 mm

Some

δ_max = 27,94 + 31,75 = 59,68 mm

Resposta

δ_max = 59,68 mm

9.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 171,9 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·266667/1750² = 171879 N = 171,9 kN

Resposta

P_cr = 171,9 kN

10.Flambagem de pilares

Resposta: d = 135,8 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 2·40000 = 80000 N

KL = 2·6000 = 12000 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·80000·12000²/(π³·70000))^(1/4) = 135,8 mm

Resposta

d = 135,8 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 353,6, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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