Análise Estrutural: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Reações de apoio em vigas

Equilíbrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carga uniforme: resultante w·L no meio da carga
Momento: M = F·d

Método

Desenhe um diagrama de corpo livre e substitua cada apoio por suas reações.
Substitua cada carga distribuída por uma única força no seu centroide.
Tome momentos em relação a um apoio para encontrar a reação no outro.
Use ΣF_y = 0 para encontrar a reação restante e confira com uma segunda equação de momentos.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Treliça: método dos nós

Método dos nós: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Método das seções: ΣM = 0 about a cut point
Esforço na barra: positivo = tração, negativo = compressão

Método

Encontre as reações de apoio da treliça inteira.
Método dos nós: comece em um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas e use ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0.
Método das seções: corte a barra de que você precisa e tome momentos em relação a um ponto onde as outras barras desconhecidas se encontram.
Suponha tração; uma resposta negativa significa compressão.

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Reações de apoio em vigasMédia

A viga em balanço está engastada na parede em A. Ela suporta uma carga uniformemente distribuída w da parede até 6 m e uma carga concentrada P a 5 m da parede. Encontre o módulo do momento de reação M_A na parede.

L = 8 mP = 70 kN em 5 mw = 2 kN/m de 0 a 6 m

M_A = kN·m

2.Reações de apoio em vigasDifícil

A viga em balanço está engastada na parede em A. Ela suporta uma carga linearmente variável que é zero na parede e cresce até 15 kN/m na extremidade livre B, além de uma carga concentrada P a 2 m da parede. Encontre o módulo do momento de reação M_A na parede.

L = 5 mw₀ = 15 kN/mP = 35 kN em 2 m

M_A = kN·m

3.Esforço cortante e momento fletorMédia

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 1 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 10 mw = 6 kN/m de 0 a 10 mx = 1 m

M_x = kN·m

4.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga se apoia em um apoio fixo em A e em um apoio móvel em B e se estende 2 m além de B, em balanço, até a extremidade livre C. Uma carga uniformemente distribuída w atua em todo o comprimento A–C. Encontre o momento fletor positivo máximo M_max entre os apoios.

L = 7 mw = 6 kN/m de 0 a 7 mapoios em x = 0 e x = 5 m

M_max = kN·m

5.Treliça: método dos nósMédia

Exatamente um membro desta treliça não suporta força sob estas cargas. Qual é o membro de força nula? Clique nele no diagrama.

B: 20 kN ↓C: 30 kN ↓D: 25 kN ↓

1membro AB
2membro BC
3membro CD
4membro DE
5membro FG
6membro GH
7membro AF
8membro HE
9membro BF
10membro CG
11membro DH
12membro FC
13membro HC

6.Treliça: método dos nósDifícil

Use o método dos nós para encontrar a força F_BC na barra BC. Dê tração como positiva e compressão como negativa.

vão = 4 maltura = 2 mB está a 3 m de Acarga vertical = 55 kNcarga horizontal = 25 kN ←

F_BC = kN

7.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a deflexão máxima δ_max, no meio do vão.

w = 15 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (madeira estrutural)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga concentrada P a b = 1,5 m do apoio B. Encontre a deflexão máxima δ_max da viga.

P = 7 kNb = 1,5 mL = 5 mE = 200 GPa (aço)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado na base e livre no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (aço)b × h = 20 × 50 mm

P_cr = kN

10.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado na base e articulado no topo. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 2,5 mE = 200 GPa (aço)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Reações de apoio em vigas

Resposta: M_A = 386 kN·m

Equilíbrio de balanços: um engaste pode empurrar para cima e também impedir a rotação, então dá uma reação vertical R_A e um momento de reação M_A. ΣF_y = 0 dá R_A, e os momentos em relação à parede dão M_A = Σ(carga × distância até a parede). Uma carga distribuída atua como sua resultante no centroide do diagrama de carga.

Resultante da carga distribuída

W = 2·6 = 12 kN, x̄ = 3 m

Momento em relação à parede

M_A = P·a + W·x̄ = 70·5 + 12·3 = 386 kN·m

Resposta

M_A = 386 kN·m

2.Reações de apoio em vigas

Resposta: M_A = 195 kN·m

Resultante da carga triangular

W = ½·15·5 = 37,5 kN

x̄ = 2L/3 = 3,333 m

Momento em relação à parede

M_A = W·x̄ + P·a = 37,5·3,333 + 35·2 = 195 kN·m

Resposta

M_A = 195 kN·m

3.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 27 kN·m

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, atuando em x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 6·10·5

R_B = 300/10 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Corte em x = 1 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 30·1 − 6·1·0,5 = 27 kN·m

Resposta

M_x = 27 kN·m

4.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 13,23 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira, incluindo a carga no balanço.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 6·7 = 42 kN, atuando em x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 6·7·3,5

R_B = 147/5 = 29,4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 42 − 29,4 = 12,6 kN

Cortante nulo

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 12,6/6 = 2,1 m

Momento positivo máximo

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 12,6²/(2·6) = 13,23 kN·m

Resposta

M_max = 13,23 kN·m

5.Treliça: método dos nós

Resposta: membro CG

Membros de força nula: em um nó, as forças devem se equilibrar em todas as direções. Se um nó não tem carga nem apoio, e dois de seus três membros estão alinhados, então o equilíbrio na direção perpendicular a essa linha envolve apenas o terceiro membro, e portanto sua força é zero. Se apenas dois membros se encontram em um nó sem carga e não estão alinhados, ambos são nulos.

Nó G

FG e GH estão em uma mesma reta e o nó não tem carga. Equilibrar as forças na direção perpendicular a essa reta deixa apenas CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Verifique com o método dos nós

Resolver todos os nós dá estas forças nos membros (T = tração, C = compressão).

AB: 36,25 kN (T), BC: 36,25 kN (T), CD: 38,75 kN (T), DE: 38,75 kN (T), FG: 52,5 kN (C), GH: 52,5 kN (C), AF: 51,27 kN (C), HE: 54,8 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 0, DH: 25 kN (T), FC: 22,98 kN (T), HC: 19,45 kN (T)

Resposta

Membro de força nula: CG

6.Treliça: método dos nós

Resposta: F_BC = −32,14 kN

Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.

Reações de apoio

Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 55·3 − 25·2 → C_y = 28,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 28,75 = 26,25 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

Nó C

O apoio móvel dá apenas uma reação vertical, então o nó C tem só duas forças de barra desconhecidas. Suponha ambas tracionadas.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −28,75/0,8944 = −32,14 kN

Resposta

F_BC = −32,14 kN (compressão)

7.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 12,35 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 2000 mm

EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Deflexão

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·2000⁴/(384·2,53 × 10¹¹) = 12,35 mm

Resposta

δ_max = 12,35 mm

8.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 2,03 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 7000 N, b = 1500 mm, L = 5000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Posição do máximo

Igualar a zero a rotação no trecho mais longo dá a posição.

x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 1500²)/3) = 2754 mm

Deflexão máxima

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 2,03 mm

Resposta

δ_max = 2,03 mm

9.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 2,632 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 2·2500 = 5000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·33333/5000² = 2632 N = 2,632 kN

Resposta

P_cr = 2,632 kN

10.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 64,45 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

KL/r = 1750/10 = 175

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/175² = 64,45 MPa

Resposta

σ_cr = 64,45 MPa

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