Análise Estrutural: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Reações de apoio em vigas

Equilíbrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L no meio da carga
Momento
M = F·d

Método

  1. Desenhe um diagrama de corpo livre e substitua cada apoio por suas reações.
  2. Substitua cada carga distribuída por uma única força no seu centroide.
  3. Tome momentos em relação a um apoio para encontrar a reação no outro.
  4. Use ΣFy = 0 para encontrar a reação restante e confira com uma segunda equação de momentos.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento
V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão
σ = M·y/I
Retângulo
I = bh³/12
Módulo de resistência
W = I/ymax
Viga biapoiada, carga uniforme
Mmax = wL²/8

Método

  1. Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
  2. Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
  3. Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
  4. Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Treliça: método dos nós

Método dos nós
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método das seções
ΣM = 0 about a cut point
Esforço na barra
positivo = tração, negativo = compressão

Método

  1. Encontre as reações de apoio da treliça inteira.
  2. Método dos nós: comece em um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas e use ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
  3. Método das seções: corte a barra de que você precisa e tome momentos em relação a um ponto onde as outras barras desconhecidas se encontram.
  4. Suponha tração; uma resposta negativa significa compressão.

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão
δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada
δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta
δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposição
δ = δ1 + δ2

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo
K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica
σcr = Pcr/A
Esbeltez
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Reações de apoio em vigasMédia
P1​ = 25 kNP2​ = 65 kNABCRA​ = ?1 m2 m1 m

A viga tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B, a 3 m de A, e se estende em balanço além de B até a extremidade livre C. Encontre a reação vertical RA, considerando positivo para cima.

AB = 3 mAC = 4 mP1 = 25 kN em 1 mP2 = 65 kN em 4 m
RA = kN
2.Reações de apoio em vigasDifícil
w = 5 kN/mP = 60 kNABRA​ = ?RB​1 m5 m1 m1 m

A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Encontre a reação vertical de apoio RA.

L = 8 mP = 60 kN em 7 mw = 5 kN/m de 1 a 6 m
RA = kN
3.Esforço cortante e momento fletorMédia
w = 12 kN/mABseção2 m6 m

Encontre o esforço cortante Vx na seção x = 2 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 8 mw = 12 kN/m de 0 a 8 mx = 2 m
Vx = kN
4.Esforço cortante e momento fletorDifícil
w = 6 kN/mP = 10 kNABseção7 m3 m

Encontre o momento fletor Mx na seção x = 7 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 10 mP = 10 kN em 7 mw = 6 kN/m de 0 a 10 mx = 7 m
Mx = kN·m
5.Treliça: método dos nósMédia
ABCDEFGH15 kN35 kN4 × 3 m3 m

Exatamente um membro desta treliça não suporta força sob estas cargas. Qual é o membro de força nula? Clique nele no diagrama.

D: 15 kN ↓F: 35 kN ↓
  1. 1membro AB
  2. 2membro BC
  3. 3membro CD
  4. 4membro DE
  5. 5membro FG
  6. 6membro GH
  7. 7membro AF
  8. 8membro HE
  9. 9membro BF
  10. 10membro CG
  11. 11membro DH
  12. 12membro BG
  13. 13membro DG
6.Treliça: método dos nósDifícil
ABBCACACB50 kN30 kN8 m3 m4 m

Use o método dos nós para encontrar a força FBC na barra BC. Dê tração como positiva e compressão como negativa.

vão = 8 maltura = 4 mB está a 3 m de Acarga vertical = 50 kNcarga horizontal = 30 kN ←
FBC = kN
7.Deflexão da vigaMédia
w = 6 kN/mP = 12 kNABδ4 m

Uma viga em balanço suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento e uma carga concentrada P na extremidade livre. Usando superposição, encontre a deflexão δ na extremidade livre.

P = 12 kNw = 6 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (alumínio)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Deflexão da vigaDifícil
w = 5 kN/mδL = 5 m

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w. Sua deflexão não pode passar de vão/360. Encontre o menor momento de inércia Ireq que atende a esse limite.

w = 5 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (alumínio)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Flambagem de pilaresMédia
PL = 4 md = 60 mmseção transversal

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está articulado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem Pcr.

L = 4 mE = 70 GPa (alumínio)d = 60 mm
Pcr = kN
10.Flambagem de pilaresDifícil
P = 25 kNL = 5 md = ?seção transversal

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e livre no topo. Ele deve suportar 25 kN com um fator de segurança de 3 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 25 kNn = 3L = 5 mE = 70 GPa (alumínio)
d = mm

3Soluções

1.Reações de apoio em vigas

Resposta: RA = −5 kN

Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Substitua cada carga distribuída pela sua resultante (a sua área) atuando no centroide do diagrama de carga, e tome momentos em relação a um apoio para eliminar a reação desse apoio da equação.

Momentos em relação a A

Anti-horário positivo.

ΣMA = 0: RB·3 = 25·1 + 65·4
RB = 285/3 = 95 kN

Equilíbrio vertical

RA = 25 + 65 − 95 = −5 kN

Resposta

RA = −5 kN

RA é negativa: o apoio fixo em A precisa segurar a viga para baixo.

2.Reações de apoio em vigas

Resposta: RA = 21,56 kN

Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Tomar momentos em relação a um apoio elimina a reação desse apoio da equação.

w = 5 kN/mP = 60 kNABRA​RB​1 m5 m1 m1 m

Diagrama de corpo livre

Substitua os apoios por forças de reação. Um apoio móvel dá uma reação vertical; com apenas cargas verticais, o apoio fixo também dá uma reação vertical.

Equilíbrio

Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário. Depois o equilíbrio das forças verticais.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, atuando em x̄ = 3,5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 60·7 + 5·5·3,5
RB = 507,5/8 = 63,44 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 63,44 = 21,56 kN

Resposta

RA = 21,56 kN
3.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: Vx = 24 kN

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, atuando em x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 12·8·4
RB = 384/8 = 48 kN
ΣFy = 0: RA = 96 − 48 = 48 kN
w = 12 kN/mABRA​ = 48RB​ = 48seção2 m6 m

Corte em x = 2 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

V = RA − (todas as cargas para baixo à esquerda do corte)
Vx = 48 − 12·2 = 24 kN

Resposta

Vx = 24 kN
4.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: Mx = 84 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, atuando em x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 10·7 + 6·10·5
RB = 370/10 = 37 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 37 = 33 kN
w = 6 kN/mP = 10 kNABRA​ = 33RB​ = 37seção7 m3 m

Corte em x = 7 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = RA·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)
Mx = 33·7 − 6·7·3,5 = 84 kN·m

Resposta

Mx = 84 kN·m
5.Treliça: método dos nós

Resposta: membro CG

Membros de força nula: em um nó, as forças devem se equilibrar em todas as direções. Se um nó não tem carga nem apoio, e dois de seus três membros estão alinhados, então o equilíbrio na direção perpendicular a essa linha envolve apenas o terceiro membro, e portanto sua força é zero. Se apenas dois membros se encontram em um nó sem carga e não estão alinhados, ambos são nulos.

Nó C

BC e CD estão em uma mesma reta e o nó não tem carga. Equilibrar as forças na direção perpendicular a essa reta deixa apenas CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Verifique com o método dos nós

Resolver todos os nós dá estas forças nos membros (T = tração, C = compressão).

AB: 30 kN (T), BC: 25 kN (T), CD: 25 kN (T), DE: 20 kN (T), FG: 30 kN (C), GH: 20 kN (C), AF: 42,43 kN (C), HE: 28,28 kN (C), BF: 5 kN (C), CG: 0, DH: 20 kN (T), BG: 7,071 kN (T), DG: 7,071 kN (C)

Resposta

Membro de força nula: CG
6.Treliça: método dos nós

Resposta: FBC = −6,003 kN

Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣFx = 0 e ΣFy = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.

ABBCACACB50 kN30 kNAy​Cy​Ax​

Reações de apoio

Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.

ΣMA = 0: Cy·8 = 50·3 − 30·4 → Cy = 3,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 3,75 = 46,25 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN

Nó C

O apoio móvel dá apenas uma reação vertical, então o nó C tem só duas forças de barra desconhecidas. Suponha ambas tracionadas.

sin γ = 4/6,403 = 0,6247, cos γ = 5/6,403 = 0,7809
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −3,75/0,6247 = −6,003 kN

Resposta

FBC = −6,003 kN (compressão)
7.Deflexão da viga

Resposta: δ = 53,33 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 12000 N, w = 6 N/mm, L = 4000 mm
EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Cada carga sozinha

δP = PL³/(3EI) = 12000·4000³/(3·8,4 × 10¹²) = 30,48 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 6·4000⁴/(8·8,4 × 10¹²) = 22,86 mm

Some

δ = 30,48 + 22,86 = 53,33 mm

Resposta

δ = 53,33 mm
8.Deflexão da viga

Resposta: Ireq = 41,85 × 10⁶ mm⁴

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Limite de deflexão

δallow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Momento de inércia necessário

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·5·5000⁴/(384·70000·13,89) = 4,185 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 41,85 × 10⁶ mm⁴

Resposta

Ireq = 41,85 × 10⁶ mm⁴
9.Flambagem de pilares

Resposta: Pcr = 27,47 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em Pcr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 1·4000 = 4000 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/4000² = 27470 N = 27,47 kN

Resposta

Pcr = 27,47 kN
10.Flambagem de pilares

Resposta: d = 121,9 mm

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em Pcr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Carga crítica necessária

Pcr = n·P = 3·25000 = 75000 N
KL = 2·5000 = 10000 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·10000²/(π³·70000))^(1/4) = 121,9 mm

Resposta

d = 121,9 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 328, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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