Análise Estrutural: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Reações de apoio em vigas

Equilíbrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carga uniforme: resultante w·L no meio da carga
Momento: M = F·d

Método

Desenhe um diagrama de corpo livre e substitua cada apoio por suas reações.
Substitua cada carga distribuída por uma única força no seu centroide.
Tome momentos em relação a um apoio para encontrar a reação no outro.
Use ΣF_y = 0 para encontrar a reação restante e confira com uma segunda equação de momentos.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Treliça: método dos nós

Método dos nós: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Método das seções: ΣM = 0 about a cut point
Esforço na barra: positivo = tração, negativo = compressão

Método

Encontre as reações de apoio da treliça inteira.
Método dos nós: comece em um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas e use ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0.
Método das seções: corte a barra de que você precisa e tome momentos em relação a um ponto onde as outras barras desconhecidas se encontram.
Suponha tração; uma resposta negativa significa compressão.

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Reações de apoio em vigasMédia

A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Ela suporta uma carga concentrada P a 4 m de A e um binário anti-horário M a 1,5 m de A. Encontre a reação vertical R_B, considerando positivo para cima.

L = 6 mP = 45 kN em 4 mM = 60 kN·m (anti-horário) em 1,5 m

R_B = kN

2.Reações de apoio em vigasDifícil

A viga em balanço está engastada na parede em A. Ela suporta uma carga linearmente variável que vale 10 kN/m na parede e cai até zero na extremidade livre B, além de uma carga concentrada P a 7 m da parede. Encontre o módulo do momento de reação M_A na parede.

L = 8 mw₀ = 10 kN/mP = 30 kN em 7 m

M_A = kN·m

3.Esforço cortante e momento fletorMédia

A viga simplesmente apoiada suporta duas cargas concentradas. Encontre o momento fletor máximo M_max na viga.

L = 6 mP₁ = 35 kN em 3 mP₂ = 15 kN em 3,5 m

M_max = kN·m

4.Esforço cortante e momento fletorDifícil

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 3 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 4 mP = 35 kN em 1,5 mw = 8 kN/m de 0 a 4 mx = 3 m

M_x = kN·m

5.Treliça: método dos nósMédia

Exatamente um membro desta treliça não suporta força sob estas cargas. Qual é o membro de força nula? Clique nele no diagrama.

B: 10 kN ↓D: 40 kN ↓G: 30 kN ↓H: 25 kN ↓

1membro AB
2membro BC
3membro CD
4membro DE
5membro FG
6membro GH
7membro AF
8membro HE
9membro BF
10membro CG
11membro DH
12membro BG
13membro DG

6.Treliça: método dos nósDifícil

Use o método dos nós para encontrar a força F_AC na barra AC. Dê tração como positiva e compressão como negativa.

vão = 5 maltura = 2 mB está a 2 m de Acarga vertical = 50 kNcarga horizontal = 25 kN →

F_AC = kN

7.Deflexão da vigaMédia

Uma viga em balanço de comprimento L está engastada em A e suporta uma carga concentrada P a uma distância a = 1,5 m de A. Encontre a deflexão δ_P sob a carga.

P = 18 kNa = 1,5 mL = 2 mE = 70 GPa (alumínio)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga engastada e apoiada está engastada em A e simplesmente apoiada em B. Ela suporta uma carga concentrada P no meio do vão. EI é constante. Encontre o módulo do momento fletor M_A no engaste.

L = 4 mP = 20 kN em 2 m

M_A = kN·m

9.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está articulado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (alumínio)b × h = 25 × 100 mm

P_cr = kN

10.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de aço está engastado nas duas extremidades. Ele deve suportar 130 kN com um fator de segurança de 2,5 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 130 kNn = 2,5L = 4 mE = 200 GPa (aço)

d = mm

3Soluções

1.Reações de apoio em vigas

Resposta: R_B = 20 kN

Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Substitua cada carga distribuída pela sua resultante (a sua área) atuando no centroide do diagrama de carga, e tome momentos em relação a um apoio para eliminar a reação desse apoio da equação.

Momentos em relação a A

Anti-horário positivo.

ΣM_A = 0: R_B·6 − 45·4 + 60 = 0

R_B = 120/6 = 20 kN

Equilíbrio vertical

R_A = 45 − 20 = 25 kN

Resposta

R_B = 20 kN

Uma reação negativa atua para baixo.

2.Reações de apoio em vigas

Resposta: M_A = 316,7 kN·m

Equilíbrio de balanços: um engaste pode empurrar para cima e também impedir a rotação, então dá uma reação vertical R_A e um momento de reação M_A. ΣF_y = 0 dá R_A, e os momentos em relação à parede dão M_A = Σ(carga × distância até a parede). Uma carga distribuída atua como sua resultante no centroide do diagrama de carga.

Resultante da carga triangular

W = ½·10·8 = 40 kN

x̄ = L/3 = 2,667 m

Momento em relação à parede

M_A = W·x̄ + P·a = 40·2,667 + 30·7 = 316,7 kN·m

Resposta

M_A = 316,7 kN·m

3.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 71,25 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·3 + 15·3,5

R_B = 157,5/6 = 26,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 26,25 = 23,75 kN

Momento sob cada carga

Fique com a parte à esquerda de cada carga.

sob P₁: M = R_A·3 = 23,75·3 = 71,25 kN·m

sob P₂: M = R_B·2,5 = 26,25·2,5 = 65,63 kN·m

Maior valor

M_max = 71,25 kN·m (sob P₁)

Resposta

M_max = 71,25 kN·m

4.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 25,13 kN·m

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, atuando em x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 35·1,5 + 8·4·2

R_B = 116,5/4 = 29,13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 67 − 29,13 = 37,88 kN

Corte em x = 3 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 37,88·3 − 35·(3 − 1,5) − 8·3·1,5 = 25,13 kN·m

Resposta

M_x = 25,13 kN·m

5.Treliça: método dos nós

Resposta: membro CG

Membros de força nula: em um nó, as forças devem se equilibrar em todas as direções. Se um nó não tem carga nem apoio, e dois de seus três membros estão alinhados, então o equilíbrio na direção perpendicular a essa linha envolve apenas o terceiro membro, e portanto sua força é zero. Se apenas dois membros se encontram em um nó sem carga e não estão alinhados, ambos são nulos.

Nó C

BC e CD estão em uma mesma reta e o nó não tem carga. Equilibrar as forças na direção perpendicular a essa reta deixa apenas CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Verifique com o método dos nós

Resolver todos os nós dá estas forças nos membros (T = tração, C = compressão).

AB: 38,75 kN (T), BC: 67,5 kN (T), CD: 67,5 kN (T), DE: 66,25 kN (T), FG: 38,75 kN (C), GH: 66,25 kN (C), AF: 54,8 kN (C), HE: 93,69 kN (C), BF: 38,75 kN (T), CG: 0, DH: 41,25 kN (T), BG: 40,66 kN (C), DG: 1,768 kN (C)

Resposta

Membro de força nula: CG

6.Treliça: método dos nós

Resposta: F_AC = 45 kN

Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.

Reações de apoio

Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 50·2 + 25·2 → C_y = 30 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 30 = 20 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

Nó C

O apoio móvel dá apenas uma reação vertical, então o nó C tem só duas forças de barra desconhecidas. Suponha ambas tracionadas.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −30/0,5547 = −54,08 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−54,08)·0,8321 = 45 kN

Resposta

F_AC = 45 kN (tração)

7.Deflexão da viga

Resposta: δ_P = 12,58 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 18000 N, a = 1500 mm, L = 2000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Deflexão sob a carga

δ_P = Pa³/(3EI) = 18000·1500³/(3·1,61 × 10¹²) = 12,58 mm

Resposta

δ_P = 12,58 mm

8.Deflexão da viga

Resposta: M_A = 15 kN·m

Retire o apoio

Sem o apoio a viga é um balanço. Sua extremidade livre defletiria sob a carga.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Compatibilidade no apoio

A força do apoio R_B sozinha levanta a extremidade livre em R_BL³/(3EI). O apoio mantém B com deflexão zero, então as duas devem se anular. EI se cancela.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·20/16 = 6,25 kN

Momento no engaste

Momentos em relação a A das cargas e da força do apoio.

M_A = P·L/2 − R_B·L = 40 − 25 = 15 kN·m

Resposta

M_A = 15 kN·m

9.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 3,598 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 1·5000 = 5000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·130208/5000² = 3598 N = 3,598 kN

Resposta

P_cr = 3,598 kN

10.Flambagem de pilares

Resposta: d = 60,52 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 2,5·130000 = 325000 N

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·325000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 60,52 mm

Resposta

d = 60,52 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 132,2, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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