Análise Estrutural: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Reações de apoio em vigas

Equilíbrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L no meio da carga
Momento
M = F·d

Método

  1. Desenhe um diagrama de corpo livre e substitua cada apoio por suas reações.
  2. Substitua cada carga distribuída por uma única força no seu centroide.
  3. Tome momentos em relação a um apoio para encontrar a reação no outro.
  4. Use ΣFy = 0 para encontrar a reação restante e confira com uma segunda equação de momentos.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento
V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão
σ = M·y/I
Retângulo
I = bh³/12
Módulo de resistência
W = I/ymax
Viga biapoiada, carga uniforme
Mmax = wL²/8

Método

  1. Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
  2. Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
  3. Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
  4. Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Treliça: método dos nós

Método dos nós
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método das seções
ΣM = 0 about a cut point
Esforço na barra
positivo = tração, negativo = compressão

Método

  1. Encontre as reações de apoio da treliça inteira.
  2. Método dos nós: comece em um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas e use ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
  3. Método das seções: corte a barra de que você precisa e tome momentos em relação a um ponto onde as outras barras desconhecidas se encontram.
  4. Suponha tração; uma resposta negativa significa compressão.

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão
δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada
δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta
δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposição
δ = δ1 + δ2

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo
K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica
σcr = Pcr/A
Esbeltez
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Reações de apoio em vigasMédia
w = 10 kN/mP = 30 kNABMA​ = ?5 m1 m2 m

A viga em balanço está engastada na parede em A. Ela suporta uma carga uniformemente distribuída w da parede até 6 m e uma carga concentrada P a 5 m da parede. Encontre o módulo do momento de reação MA na parede.

L = 8 mP = 30 kN em 5 mw = 10 kN/m de 0 a 6 m
MA = kN·m
2.Reações de apoio em vigasDifícil
P = 55 kN, 40°Q = 10 kNABRA​ = ?2 m1,5 m0,5 m

A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Uma carga P atua a 3,5 m de A, inclinada a 40° em relação à horizontal, e uma carga vertical Q atua a 2 m de A. Encontre o módulo da força de reação total RA no apoio fixo A.

L = 4 mP = 55 kN em 3,5 m, θ = 40°Q = 10 kN em 2 m
RA = kN
3.Esforço cortante e momento fletorMédia
w = 6 kN/mP = 30 kNAB3 m1 m

A viga em balanço está engastada em A. Ela suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento e uma carga concentrada P a 3 m de A. Encontre o momento fletor MA no engaste A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 4 mP = 30 kN em 3 mw = 6 kN/m de 0 a 4 m
MA = kN·m
4.Esforço cortante e momento fletorDifícil
4 kN/m55 kN15 kN30 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

55 kN @ 0 m15 kN @ 6 m30 kN @ 3 m4 kN/m, 1–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
5.Treliça: método dos nósMédia
ABBCACACB20 kN5 m1 m3 m

Use o método dos nós para encontrar a força FAC na barra AC. Dê tração como positiva e compressão como negativa.

vão = 5 maltura = 3 mB está a 1 m de Acarga vertical = 20 kN
FAC = kN
6.Treliça: método dos nósDifícil
ABBCACACB25 kN25 kN4 m1 m2 m

Use o método dos nós para encontrar a força FAC na barra AC. Dê tração como positiva e compressão como negativa.

vão = 4 maltura = 2 mB está a 1 m de Acarga vertical = 25 kNcarga horizontal = 25 kN →
FAC = kN
7.Deflexão da vigaMédia
w = 2 kN/mδL = 8 m

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a deflexão máxima δmax, no meio do vão.

w = 2 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (aço)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Deflexão da vigaDifícil
w = 8 kN/mδL = 6 m

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w. Sua deflexão não pode passar de vão/360. Encontre o menor momento de inércia Ireq que atende a esse limite.

w = 8 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (alumínio)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Flambagem de pilaresMédia
PL = 1 m40 × 50 mmseção transversal

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e livre no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem Pcr.

L = 1 mE = 70 GPa (alumínio)b × h = 40 × 50 mm
Pcr = kN
10.Flambagem de pilaresDifícil
P = 60 kNL = 2 md = ?seção transversal

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de aço está engastado na base e livre no topo. Ele deve suportar 60 kN com um fator de segurança de 2 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 60 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (aço)
d = mm

3Soluções

1.Reações de apoio em vigas

Resposta: MA = 330 kN·m

Equilíbrio de balanços: um engaste pode empurrar para cima e também impedir a rotação, então dá uma reação vertical RA e um momento de reação MA. ΣFy = 0 dá RA, e os momentos em relação à parede dão MA = Σ(carga × distância até a parede). Uma carga distribuída atua como sua resultante no centroide do diagrama de carga.

Resultante da carga distribuída

W = 10·6 = 60 kN, x̄ = 3 m

Momento em relação à parede

MA = P·a + W·x̄ = 30·5 + 60·3 = 330 kN·m

Resposta

MA = 330 kN·m
2.Reações de apoio em vigas

Resposta: RA = 43,17 kN

Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Substitua cada carga distribuída pela sua resultante (a sua área) atuando no centroide do diagrama de carga, e tome momentos em relação a um apoio para eliminar a reação desse apoio da equação.

Componentes de P

Pv = 55·sin 40° = 35,35 kN
Ph = 55·cos 40° = 42,13 kN

Reações

ΣMA = 0: RB·4 = 35,35·3,5 + 10·2 → RB = 35,93 kN
Ay = 35,35 + 10 − 35,93 = 9,419 kN
Ax = Ph = 42,13 kN

Resultante em A

RA = √(42,13² + 9,419²) = 43,17 kN

Resposta

RA = 43,17 kN
3.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: MA = −138 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Fique com a parte da extremidade livre

P: −30·3 = −90 kN·m
w: −6·4²/2 = −48 kN·m
MA = −90 − 48 = −138 kN·m

Resposta

MA = −138 kN·m

Negativo significa tração na face superior.

4.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: B (x = 1 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R1 = 88 kN, R2 = 28 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

MA = 0, MB = −55 kN·m, MC = −24, MD = 3, ME = −4, MF = −15, MG = 0

Resposta

Marca B: MB = −55 kN·m
5.Treliça: método dos nós

Resposta: FAC = 5,333 kN

Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣFx = 0 e ΣFy = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.

ABBCACACB20 kNAy​Cy​

Reações de apoio

Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.

ΣMA = 0: Cy·5 = 20·1 → Cy = 4 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 4 = 16 kN

Nó C

O apoio móvel dá apenas uma reação vertical, então o nó C tem só duas forças de barra desconhecidas. Suponha ambas tracionadas.

sin γ = 3/5 = 0,6, cos γ = 4/5 = 0,8
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −4/0,6 = −6,667 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−6,667)·0,8 = 5,333 kN

Resposta

FAC = 5,333 kN (tração)
6.Treliça: método dos nós

Resposta: FAC = 28,13 kN

Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣFx = 0 e ΣFy = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.

ABBCACACB25 kN25 kNAy​Cy​Ax​

Reações de apoio

Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.

ΣMA = 0: Cy·4 = 25·1 + 25·2 → Cy = 18,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 18,75 = 6,25 kN
ΣFx = 0: Ax = −25 kN

Nó C

O apoio móvel dá apenas uma reação vertical, então o nó C tem só duas forças de barra desconhecidas. Suponha ambas tracionadas.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −18,75/0,5547 = −33,8 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−33,8)·0,8321 = 28,13 kN

Resposta

FAC = 28,13 kN (tração)
7.Deflexão da viga

Resposta: δmax = 62,75 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 8000 mm
EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Deflexão

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·8000⁴/(384·1,7 × 10¹²) = 62,75 mm

Resposta

δmax = 62,75 mm
8.Deflexão da viga

Resposta: Ireq = 115,7 × 10⁶ mm⁴

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Limite de deflexão

δallow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Momento de inércia necessário

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·8·6000⁴/(384·70000·16,67) = 1,157 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 115,7 × 10⁶ mm⁴

Resposta

Ireq = 115,7 × 10⁶ mm⁴
9.Flambagem de pilares

Resposta: Pcr = 46,06 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em Pcr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

Imin = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 2·1000 = 2000 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·266667/2000² = 46058 N = 46,06 kN

Resposta

Pcr = 46,06 kN
10.Flambagem de pilares

Resposta: d = 66,72 mm

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em Pcr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Carga crítica necessária

Pcr = n·P = 2·60000 = 120000 N
KL = 2·2000 = 4000 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·120000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 66,72 mm

Resposta

d = 66,72 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 239,8, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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