Análise Estrutural: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Reações de apoio em vigas

Equilíbrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carga uniforme: resultante w·L no meio da carga
Momento: M = F·d

Método

Desenhe um diagrama de corpo livre e substitua cada apoio por suas reações.
Substitua cada carga distribuída por uma única força no seu centroide.
Tome momentos em relação a um apoio para encontrar a reação no outro.
Use ΣF_y = 0 para encontrar a reação restante e confira com uma segunda equação de momentos.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Treliça: método dos nós

Método dos nós: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Método das seções: ΣM = 0 about a cut point
Esforço na barra: positivo = tração, negativo = compressão

Método

Encontre as reações de apoio da treliça inteira.
Método dos nós: comece em um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas e use ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0.
Método das seções: corte a barra de que você precisa e tome momentos em relação a um ponto onde as outras barras desconhecidas se encontram.
Suponha tração; uma resposta negativa significa compressão.

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Reações de apoio em vigasMédia

A viga simplesmente apoiada (apoio fixo em A, apoio móvel em B) suporta uma carga linearmente variável que cresce de zero em A até 4 kN/m em B. Encontre a reação vertical de apoio R_A.

L = 6 mw₀ = 4 kN/m

R_A = kN

2.Reações de apoio em vigasDifícil

A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Encontre a reação vertical de apoio R_A.

L = 10 mP = 60 kN em 6 mw = 12 kN/m de 4 a 5 m

R_A = kN

3.Esforço cortante e momento fletorMédia

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 1 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 4 mw = 3 kN/m de 0 a 4 mx = 1 m

M_x = kN·m

4.Esforço cortante e momento fletorDifícil

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 1 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 5 mP = 50 kN em 1 mw = 3 kN/m de 0 a 5 mx = 1 m

M_x = kN·m

5.Treliça: método dos nósMédia

Exatamente um membro desta treliça não suporta força sob estas cargas. Qual é o membro de força nula? Clique nele no diagrama.

B: 25 kN ↓D: 15 kN ↓G: 30 kN ↓H: 35 kN ↓

1membro AB
2membro BC
3membro CD
4membro DE
5membro FG
6membro GH
7membro AF
8membro HE
9membro BF
10membro CG
11membro DH
12membro BG
13membro DG

6.Treliça: método dos nósDifícil

Use o método dos nós para encontrar a força F_AC na barra AC. Dê tração como positiva e compressão como negativa.

vão = 4 maltura = 2 mB está a 3 m de Acarga vertical = 60 kNcarga horizontal = 30 kN →

F_AC = kN

7.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a deflexão máxima δ_max, no meio do vão.

w = 6 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (aço)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w e uma carga concentrada P no meio do vão. Usando superposição, encontre a deflexão no meio do vão δ_max.

P = 16 kNw = 15 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (aço)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e livre no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (alumínio)b × h = 50 × 60 mm

P_cr = kN

10.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de aço está engastado na base e livre no topo. Ele deve suportar 140 kN com um fator de segurança de 2,5 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 140 kNn = 2,5L = 2 mE = 200 GPa (aço)

d = mm

3Soluções

1.Reações de apoio em vigas

Resposta: R_A = 4 kN

Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Substitua cada carga distribuída pela sua resultante (a sua área) atuando no centroide do diagrama de carga, e tome momentos em relação a um apoio para eliminar a reação desse apoio da equação.

Resultante da carga triangular

W = ½·4·6 = 12 kN

x̄ = 2L/3 = 4 m

Equilíbrio

Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário. Depois o equilíbrio das forças verticais.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 12·4

R_B = 8 kN

R_A = 12 − 8 = 4 kN

Resposta

R_A = 4 kN

2.Reações de apoio em vigas

Resposta: R_A = 30,6 kN

Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Tomar momentos em relação a um apoio elimina a reação desse apoio da equação.

Diagrama de corpo livre

Substitua os apoios por forças de reação. Um apoio móvel dá uma reação vertical; com apenas cargas verticais, o apoio fixo também dá uma reação vertical.

Equilíbrio

Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário. Depois o equilíbrio das forças verticais.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 12·1 = 12 kN, atuando em x̄ = 4,5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 60·6 + 12·1·4,5

R_B = 414/10 = 41,4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 72 − 41,4 = 30,6 kN

Resposta

R_A = 30,6 kN

3.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 4,5 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, atuando em x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 3·4·2

R_B = 24/4 = 6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 6 = 6 kN

Corte em x = 1 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 6·1 − 3·1·0,5 = 4,5 kN·m

Resposta

M_x = 4,5 kN·m

4.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 46 kN·m

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, atuando em x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·1 + 3·5·2,5

R_B = 87,5/5 = 17,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 17,5 = 47,5 kN

Corte em x = 1 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 47,5·1 − 3·1·0,5 = 46 kN·m

Resposta

M_x = 46 kN·m

5.Treliça: método dos nós

Resposta: membro CG

Membros de força nula: em um nó, as forças devem se equilibrar em todas as direções. Se um nó não tem carga nem apoio, e dois de seus três membros estão alinhados, então o equilíbrio na direção perpendicular a essa linha envolve apenas o terceiro membro, e portanto sua força é zero. Se apenas dois membros se encontram em um nó sem carga e não estão alinhados, ambos são nulos.

Nó C

BC e CD estão em uma mesma reta e o nó não tem carga. Equilibrar as forças na direção perpendicular a essa reta deixa apenas CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Verifique com o método dos nós

Resolver todos os nós dá estas forças nos membros (T = tração, C = compressão).

AB: 46,25 kN (T), BC: 67,5 kN (T), CD: 67,5 kN (T), DE: 58,75 kN (T), FG: 46,25 kN (C), GH: 58,75 kN (C), AF: 65,41 kN (C), HE: 83,09 kN (C), BF: 46,25 kN (T), CG: 0, DH: 23,75 kN (T), BG: 30,05 kN (C), DG: 12,37 kN (C)

Resposta

Membro de força nula: CG

6.Treliça: método dos nós

Resposta: F_AC = 30 kN

Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.

Reações de apoio

Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 60·3 + 30·2 → C_y = 60 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 60 = 0 kN

ΣF_x = 0: A_x = −30 kN

Nó C

O apoio móvel dá apenas uma reação vertical, então o nó C tem só duas forças de barra desconhecidas. Suponha ambas tracionadas.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −60/0,8944 = −67,08 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−67,08)·0,4472 = 30 kN

Resposta

F_AC = 30 kN (tração)

7.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 10 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 8000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Deflexão

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·8000⁴/(384·3,2 × 10¹³) = 10 mm

Resposta

δ_max = 10 mm

8.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 68,22 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 16000 N, w = 15 N/mm, L = 5000 mm, EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Cada carga sozinha

δ_P = PL³/(48EI) = 16000·5000³/(48·2,4 × 10¹²) = 17,36 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·5000⁴/(384·2,4 × 10¹²) = 50,86 mm

Some

δ_max = 17,36 + 50,86 = 68,22 mm

Resposta

δ_max = 68,22 mm

9.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 17,27 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 2·2500 = 5000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/5000² = 17272 N = 17,27 kN

Resposta

P_cr = 17,27 kN

10.Flambagem de pilares

Resposta: d = 87,19 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 2,5·140000 = 350000 N

KL = 2·2000 = 4000 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·350000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 87,19 mm

Resposta

d = 87,19 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 183,5, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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