Análise Estrutural: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Reações de apoio em vigas

Equilíbrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L no meio da carga
Momento
M = F·d

Método

  1. Desenhe um diagrama de corpo livre e substitua cada apoio por suas reações.
  2. Substitua cada carga distribuída por uma única força no seu centroide.
  3. Tome momentos em relação a um apoio para encontrar a reação no outro.
  4. Use ΣFy = 0 para encontrar a reação restante e confira com uma segunda equação de momentos.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento
V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão
σ = M·y/I
Retângulo
I = bh³/12
Módulo de resistência
W = I/ymax
Viga biapoiada, carga uniforme
Mmax = wL²/8

Método

  1. Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
  2. Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
  3. Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
  4. Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Treliça: método dos nós

Método dos nós
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método das seções
ΣM = 0 about a cut point
Esforço na barra
positivo = tração, negativo = compressão

Método

  1. Encontre as reações de apoio da treliça inteira.
  2. Método dos nós: comece em um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas e use ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
  3. Método das seções: corte a barra de que você precisa e tome momentos em relação a um ponto onde as outras barras desconhecidas se encontram.
  4. Suponha tração; uma resposta negativa significa compressão.

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão
δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada
δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta
δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposição
δ = δ1 + δ2

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo
K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica
σcr = Pcr/A
Esbeltez
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Reações de apoio em vigasMédia
P = 70 kNM = 60 kN·mABRB​ = ?0,5 m1 m4,5 m

A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Ela suporta uma carga concentrada P a 0,5 m de A e um binário horário M a 1,5 m de A. Encontre a reação vertical RB, considerando positivo para cima.

L = 6 mP = 70 kN em 0,5 mM = 60 kN·m (horário) em 1,5 m
RB = kN
2.Reações de apoio em vigasDifícil
w = 10 kN/mP = 70 kNABCRB​ = ?3 m1 m4 m2 m

A viga tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B, a 8 m de A, e se estende em balanço além de B até a extremidade livre C. Ela suporta uma carga concentrada P a 4 m de A e uma carga uniformemente distribuída w de 3 m até a extremidade livre em 10 m. Encontre a reação vertical RB, considerando positivo para cima.

AB = 8 mAC = 10 mP = 70 kN em 4 mw = 10 kN/m de 3 a 10 m
RB = kN
3.Esforço cortante e momento fletorMédia
w = 12 kN/mP = 65 kNAB0,5 m4,5 m

A viga em balanço está engastada em A. Ela suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento e uma carga concentrada P a 0,5 m de A. Encontre o momento fletor MA no engaste A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 5 mP = 65 kN em 0,5 mw = 12 kN/m de 0 a 5 m
MA = kN·m
4.Esforço cortante e momento fletorDifícil
w = 3 kN/mP = 15 kNABseção1,5 m1 m1,5 m

Encontre o momento fletor Mx na seção x = 2,5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 4 mP = 15 kN em 1,5 mw = 3 kN/m de 0 a 4 mx = 2,5 m
Mx = kN·m
5.Treliça: método dos nósMédia
ABBCACACB30 kN5 m3 m3 m

Use o método dos nós para encontrar a força FAB na barra AB. Dê tração como positiva e compressão como negativa.

vão = 5 maltura = 3 mB está a 3 m de Acarga vertical = 30 kN
FAB = kN
6.Treliça: método dos nósDifícil
ABBCACACB55 kN25 kN5 m2 m3 m

Use o método dos nós para encontrar a força FAB na barra AB. Dê tração como positiva e compressão como negativa.

vão = 5 maltura = 3 mB está a 2 m de Acarga vertical = 55 kNcarga horizontal = 25 kN →
FAB = kN
7.Deflexão da vigaMédia
w = 20 kN/mP = 13 kNABδ2 m

Uma viga em balanço suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento e uma carga concentrada P na extremidade livre. Usando superposição, encontre a deflexão δ na extremidade livre.

P = 13 kNw = 20 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (alumínio)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Deflexão da vigaDifícil
w = 6 kN/mδL = 2 m

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w. Sua deflexão não pode passar de vão/360. Encontre o menor momento de inércia Ireq que atende a esse limite.

w = 6 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (aço)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Flambagem de pilaresMédia
PL = 1 m40 × 60 mmseção transversal

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e livre no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem Pcr.

L = 1 mE = 70 GPa (alumínio)b × h = 40 × 60 mm
Pcr = kN
10.Flambagem de pilaresDifícil
P = 45 kNL = 4 md = ?seção transversal

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de aço está articulado nas duas extremidades. Ele deve suportar 45 kN com um fator de segurança de 2,5 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 45 kNn = 2,5L = 4 mE = 200 GPa (aço)
d = mm

3Soluções

1.Reações de apoio em vigas

Resposta: RB = 15,83 kN

Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Substitua cada carga distribuída pela sua resultante (a sua área) atuando no centroide do diagrama de carga, e tome momentos em relação a um apoio para eliminar a reação desse apoio da equação.

Momentos em relação a A

Anti-horário positivo.

ΣMA = 0: RB·6 − 70·0,5 − 60 = 0
RB = 95/6 = 15,83 kN

Equilíbrio vertical

RA = 70 − 15,83 = 54,17 kN

Resposta

RB = 15,83 kN

Uma reação negativa atua para baixo.

2.Reações de apoio em vigas

Resposta: RB = 91,88 kN

Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Substitua cada carga distribuída pela sua resultante (a sua área) atuando no centroide do diagrama de carga, e tome momentos em relação a um apoio para eliminar a reação desse apoio da equação.

Resultante da carga distribuída

W = 10·7 = 70 kN, x̄ = (3 + 10)/2 = 6,5 m

Equilíbrio

Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário. Depois o equilíbrio das forças verticais.

ΣMA = 0: RB·8 = 70·4 + 70·6,5
RB = 735/8 = 91,88 kN
RA = 140 − 91,88 = 48,13 kN

Resposta

RB = 91,88 kN
3.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: MA = −182,5 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Fique com a parte da extremidade livre

P: −65·0,5 = −32,5 kN·m
w: −12·5²/2 = −150 kN·m
MA = −32,5 − 150 = −182,5 kN·m

Resposta

MA = −182,5 kN·m

Negativo significa tração na face superior.

4.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: Mx = 14,06 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, atuando em x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 15·1,5 + 3·4·2
RB = 46,5/4 = 11,63 kN
ΣFy = 0: RA = 27 − 11,63 = 15,38 kN
w = 3 kN/mP = 15 kNABRA​ = 15,38RB​ = 11,63seção1,5 m1 m1,5 m

Corte em x = 2,5 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = RA·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)
Mx = 15,38·2,5 − 15·(2,5 − 1,5) − 3·2,5·1,25 = 14,06 kN·m

Resposta

Mx = 14,06 kN·m
5.Treliça: método dos nós

Resposta: FAB = −16,97 kN

Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣFx = 0 e ΣFy = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.

ABBCACACB30 kNAy​Cy​

Reações de apoio

Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.

ΣMA = 0: Cy·5 = 30·3 → Cy = 18 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 18 = 12 kN

Nó A

Suponha que toda barra está tracionada (puxando para fora do nó). Só AB tem componente vertical em A.

sin α = 3/4,243 = 0,7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −12/0,7071 = −16,97 kN

Resposta

FAB = −16,97 kN (compressão)
6.Treliça: método dos nós

Resposta: FAB = −21,63 kN

Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣFx = 0 e ΣFy = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.

ABBCACACB55 kN25 kNAy​Cy​Ax​

Reações de apoio

Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.

ΣMA = 0: Cy·5 = 55·2 + 25·3 → Cy = 37 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 37 = 18 kN
ΣFx = 0: Ax = −25 kN

Nó A

Suponha que toda barra está tracionada (puxando para fora do nó). Só AB tem componente vertical em A.

sin α = 3/3,606 = 0,8321
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −18/0,8321 = −21,63 kN

Resposta

FAB = −21,63 kN (compressão)
7.Deflexão da viga

Resposta: δ = 6,667 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 13000 N, w = 20 N/mm, L = 2000 mm
EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Cada carga sozinha

δP = PL³/(3EI) = 13000·2000³/(3·1,12 × 10¹³) = 3,095 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 20·2000⁴/(8·1,12 × 10¹³) = 3,571 mm

Some

δ = 3,095 + 3,571 = 6,667 mm

Resposta

δ = 6,667 mm
8.Deflexão da viga

Resposta: Ireq = 1,125 × 10⁶ mm⁴

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Limite de deflexão

δallow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Momento de inércia necessário

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·6·2000⁴/(384·200000·5,556) = 1,125 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 1,125 × 10⁶ mm⁴

Resposta

Ireq = 1,125 × 10⁶ mm⁴
9.Flambagem de pilares

Resposta: Pcr = 55,27 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em Pcr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

Imin = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 2·1000 = 2000 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·320000/2000² = 55270 N = 55,27 kN

Resposta

Pcr = 55,27 kN
10.Flambagem de pilares

Resposta: d = 65,65 mm

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em Pcr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Carga crítica necessária

Pcr = n·P = 2,5·45000 = 112500 N
KL = 1·4000 = 4000 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·112500·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 65,65 mm

Resposta

d = 65,65 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 243,7, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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