Análise Estrutural: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Reações de apoio em vigas

Equilíbrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carga uniforme: resultante w·L no meio da carga
Momento: M = F·d

Método

Desenhe um diagrama de corpo livre e substitua cada apoio por suas reações.
Substitua cada carga distribuída por uma única força no seu centroide.
Tome momentos em relação a um apoio para encontrar a reação no outro.
Use ΣF_y = 0 para encontrar a reação restante e confira com uma segunda equação de momentos.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Treliça: método dos nós

Método dos nós: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Método das seções: ΣM = 0 about a cut point
Esforço na barra: positivo = tração, negativo = compressão

Método

Encontre as reações de apoio da treliça inteira.
Método dos nós: comece em um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas e use ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0.
Método das seções: corte a barra de que você precisa e tome momentos em relação a um ponto onde as outras barras desconhecidas se encontram.
Suponha tração; uma resposta negativa significa compressão.

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Reações de apoio em vigasMédia

A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Encontre a reação vertical de apoio R_A.

L = 4 mP₁ = 10 kN em 2,5 mP₂ = 35 kN em 3 m

R_A = kN

2.Reações de apoio em vigasDifícil

A viga tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B, a 5 m de A, e se estende em balanço além de B até a extremidade livre C. Ela suporta uma carga concentrada P a 1 m de A e uma carga uniformemente distribuída w de 4 m até a extremidade livre em 8 m. Encontre a reação vertical R_A, considerando positivo para cima.

AB = 5 mAC = 8 mP = 70 kN em 1 mw = 8 kN/m de 4 a 8 m

R_A = kN

3.Esforço cortante e momento fletorMédia

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 4,5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 5 mw = 2 kN/m de 0 a 5 mx = 4,5 m

M_x = kN·m

4.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão e uma carga concentrada P. Encontre o momento fletor máximo M_max na viga.

L = 5 mP = 20 kN em 1,5 mw = 5 kN/m de 0 a 5 m

M_max = kN·m

5.Treliça: método dos nósMédia

Exatamente um membro desta treliça não suporta força sob estas cargas. Qual é o membro de força nula? Clique nele no diagrama.

G: 40 kN ↓H: 35 kN ↓

1membro AB
2membro BC
3membro CD
4membro DE
5membro FG
6membro GH
7membro AF
8membro HE
9membro BF
10membro CG
11membro DH
12membro BG
13membro DG

6.Treliça: método dos nósDifícil

Use o método dos nós para encontrar a força F_BC na barra BC. Dê tração como positiva e compressão como negativa.

vão = 4 maltura = 3 mB está a 3 m de Acarga vertical = 20 kNcarga horizontal = 15 kN →

F_BC = kN

7.Deflexão da vigaMédia

Uma viga em balanço suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento e uma carga concentrada P na extremidade livre. Usando superposição, encontre a deflexão δ na extremidade livre.

P = 9 kNw = 4 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (alumínio)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w e uma carga concentrada P no meio do vão. Usando superposição, encontre a deflexão no meio do vão δ_max.

P = 11 kNw = 4 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (madeira estrutural)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado na base e livre no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (aço)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

10.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está articulado nas duas extremidades. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 6 mE = 70 GPa (alumínio)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Reações de apoio em vigas

Resposta: R_A = 12,5 kN

Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Tomar momentos em relação a um apoio elimina a reação desse apoio da equação.

Diagrama de corpo livre

Substitua os apoios por forças de reação. Um apoio móvel dá uma reação vertical; com apenas cargas verticais, o apoio fixo também dá uma reação vertical.

Equilíbrio

Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário. Depois o equilíbrio das forças verticais.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·2,5 + 35·3

R_B = 130/4 = 32,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 32,5 = 12,5 kN

Resposta

R_A = 12,5 kN

2.Reações de apoio em vigas

Resposta: R_A = 49,6 kN

Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Substitua cada carga distribuída pela sua resultante (a sua área) atuando no centroide do diagrama de carga, e tome momentos em relação a um apoio para eliminar a reação desse apoio da equação.

Resultante da carga distribuída

W = 8·4 = 32 kN, x̄ = (4 + 8)/2 = 6 m

Equilíbrio

Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário. Depois o equilíbrio das forças verticais.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 70·1 + 32·6

R_B = 262/5 = 52,4 kN

R_A = 102 − 52,4 = 49,6 kN

Resposta

R_A = 49,6 kN

3.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 2,25 kN·m

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, atuando em x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 2·5·2,5

R_B = 25/5 = 5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 10 − 5 = 5 kN

Corte em x = 4,5 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 5·4,5 − 2·4,5·2,25 = 2,25 kN·m

Resposta

M_x = 2,25 kN·m

4.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 34,13 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, atuando em x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 20·1,5 + 5·5·2,5

R_B = 92,5/5 = 18,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 18,5 = 26,5 kN

Onde V = 0?

V(1,5⁻) = R_A − w·1,5 = 19 kN

V(1,5⁺) = 19 − 20 = −1 kN

O cortante muda de sinal na carga, então o máximo fica sob a carga.

Momento máximo

M_max = R_A·1,5 − w·1,5²/2 = 26,5·1,5 − 5·1,5²/2 = 34,13 kN·m

Resposta

M_max = 34,13 kN·m

Ele ocorre em x = 1,5 m a partir de A.

5.Treliça: método dos nós

Resposta: membro CG

Membros de força nula: em um nó, as forças devem se equilibrar em todas as direções. Se um nó não tem carga nem apoio, e dois de seus três membros estão alinhados, então o equilíbrio na direção perpendicular a essa linha envolve apenas o terceiro membro, e portanto sua força é zero. Se apenas dois membros se encontram em um nó sem carga e não estão alinhados, ambos são nulos.

Nó C

BC e CD estão em uma mesma reta e o nó não tem carga. Equilibrar as forças na direção perpendicular a essa reta deixa apenas CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Verifique com o método dos nós

Resolver todos os nós dá estas forças nos membros (T = tração, C = compressão).

AB: 38,33 kN (T), BC: 76,67 kN (T), CD: 76,67 kN (T), DE: 61,67 kN (T), FG: 38,33 kN (C), GH: 61,67 kN (C), AF: 47,92 kN (C), HE: 77,08 kN (C), BF: 28,75 kN (T), CG: 0, DH: 11,25 kN (T), BG: 47,92 kN (C), DG: 18,75 kN (C)

Resposta

Membro de força nula: CG

6.Treliça: método dos nós

Resposta: F_BC = −27,67 kN

Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.

Reações de apoio

Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 20·3 + 15·3 → C_y = 26,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 26,25 = −6,25 kN

ΣF_x = 0: A_x = −15 kN

Nó C

O apoio móvel dá apenas uma reação vertical, então o nó C tem só duas forças de barra desconhecidas. Suponha ambas tracionadas.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −26,25/0,9487 = −27,67 kN

Resposta

F_BC = −27,67 kN (compressão)

7.Deflexão da viga

Resposta: δ = 5,022 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 9000 N, w = 4 N/mm, L = 1500 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Cada carga sozinha

δ_P = PL³/(3EI) = 9000·1500³/(3·2,52 × 10¹²) = 4,018 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 4·1500⁴/(8·2,52 × 10¹²) = 1,004 mm

Some

δ = 4,018 + 1,004 = 5,022 mm

Resposta

δ = 5,022 mm

8.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 44,66 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 11000 N, w = 4 N/mm, L = 4000 mm, EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Cada carga sozinha

δ_P = PL³/(48EI) = 11000·4000³/(48·6,27 × 10¹¹) = 23,39 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·4000⁴/(384·6,27 × 10¹¹) = 21,27 mm

Some

δ_max = 23,39 + 21,27 = 44,66 mm

Resposta

δ_max = 44,66 mm

9.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 82,25 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 2·2500 = 5000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·1,042 × 10⁶/5000² = 82247 N = 82,25 kN

Resposta

P_cr = 82,25 kN

10.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 7,676 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 1·6000 = 6000 mm

KL/r = 6000/20 = 300

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/300² = 7,676 MPa

Resposta

σ_cr = 7,676 MPa

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