Análise Estrutural: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Reações de apoio em vigas

Equilíbrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carga uniforme: resultante w·L no meio da carga
Momento: M = F·d

Método

Desenhe um diagrama de corpo livre e substitua cada apoio por suas reações.
Substitua cada carga distribuída por uma única força no seu centroide.
Tome momentos em relação a um apoio para encontrar a reação no outro.
Use ΣF_y = 0 para encontrar a reação restante e confira com uma segunda equação de momentos.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Treliça: método dos nós

Método dos nós: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Método das seções: ΣM = 0 about a cut point
Esforço na barra: positivo = tração, negativo = compressão

Método

Encontre as reações de apoio da treliça inteira.
Método dos nós: comece em um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas e use ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0.
Método das seções: corte a barra de que você precisa e tome momentos em relação a um ponto onde as outras barras desconhecidas se encontram.
Suponha tração; uma resposta negativa significa compressão.

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Reações de apoio em vigasMédia

A viga em balanço está engastada na parede em A. Ela suporta uma carga uniformemente distribuída w da parede até 2 m e uma carga concentrada P a 2 m da parede. Encontre o módulo do momento de reação M_A na parede.

L = 4 mP = 65 kN em 2 mw = 2 kN/m de 0 a 2 m

M_A = kN·m

2.Reações de apoio em vigasDifícil

A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Encontre a reação vertical de apoio R_B.

L = 4 mP = 30 kN em 1,5 mw = 2 kN/m de 0 a 3 m

R_B = kN

3.Esforço cortante e momento fletorMédia

A viga em balanço está engastada em A. Ela suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento e uma carga concentrada P a 5 m de A. Encontre o momento fletor M_x na seção x = 0,5 m a partir do engaste A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 5 mP = 30 kN em 5 mw = 10 kN/m de 0 a 5 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

4.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão e uma carga concentrada P. Encontre o momento fletor máximo M_max na viga.

L = 4 mP = 80 kN em 1,5 mw = 8 kN/m de 0 a 4 m

M_max = kN·m

5.Treliça: método dos nósMédia

Use o método dos nós para encontrar a força F_BC na barra BC. Dê tração como positiva e compressão como negativa.

vão = 5 maltura = 2 mB está a 1 m de Acarga vertical = 10 kN

F_BC = kN

6.Treliça: método dos nósDifícil

Exatamente um membro desta treliça não suporta força sob estas cargas. Qual é o membro de força nula? Clique nele no diagrama.

B: 30 kN ↓D: 10 kN ↓F: 20 kN ↓F: 30 kN →

1membro AB
2membro BC
3membro CD
4membro DE
5membro FG
6membro GH
7membro AF
8membro HE
9membro BF
10membro CG
11membro DH
12membro BG
13membro DG

7.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga concentrada P a a = 1,5 m do apoio A. Encontre a deflexão δ_P sob a carga.

P = 14 kNa = 1,5 mL = 6 mE = 70 GPa (alumínio)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga engastada e apoiada está engastada em A e simplesmente apoiada em B. Ela suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento. EI é constante. Encontre o módulo do momento fletor M_A no engaste.

L = 8 mw = 10 kN/m

M_A = kN·m

9.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (alumínio)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

10.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de aço está engastado na base e livre no topo. Ele deve suportar 40 kN com um fator de segurança de 2 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 40 kNn = 2L = 1 mE = 200 GPa (aço)

d = mm

3Soluções

1.Reações de apoio em vigas

Resposta: M_A = 134 kN·m

Equilíbrio de balanços: um engaste pode empurrar para cima e também impedir a rotação, então dá uma reação vertical R_A e um momento de reação M_A. ΣF_y = 0 dá R_A, e os momentos em relação à parede dão M_A = Σ(carga × distância até a parede). Uma carga distribuída atua como sua resultante no centroide do diagrama de carga.

Resultante da carga distribuída

W = 2·2 = 4 kN, x̄ = 1 m

Momento em relação à parede

M_A = P·a + W·x̄ = 65·2 + 4·1 = 134 kN·m

Resposta

M_A = 134 kN·m

2.Reações de apoio em vigas

Resposta: R_B = 13,5 kN

Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Tomar momentos em relação a um apoio elimina a reação desse apoio da equação.

Diagrama de corpo livre

Substitua os apoios por forças de reação. Um apoio móvel dá uma reação vertical; com apenas cargas verticais, o apoio fixo também dá uma reação vertical.

Equilíbrio

Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário. Depois o equilíbrio das forças verticais.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 2·3 = 6 kN, atuando em x̄ = 1,5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 30·1,5 + 2·3·1,5

R_B = 54/4 = 13,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 36 − 13,5 = 22,5 kN

Resposta

R_B = 13,5 kN

3.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = −236,3 kN·m

Fique com a parte da extremidade livre

P: −30·4,5 = −135 kN·m

w: −10·4,5²/2 = −101,3 kN·m

M_x = −135 − 101,3 = −236,3 kN·m

Resposta

M_x = −236,3 kN·m

Negativo significa tração na face superior.

4.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 90 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, atuando em x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 80·1,5 + 8·4·2

R_B = 184/4 = 46 kN

ΣF_y = 0: R_A = 112 − 46 = 66 kN

Onde V = 0?

V(1,5⁻) = R_A − w·1,5 = 54 kN

V(1,5⁺) = 54 − 80 = −26 kN

O cortante muda de sinal na carga, então o máximo fica sob a carga.

Momento máximo

M_max = R_A·1,5 − w·1,5²/2 = 66·1,5 − 8·1,5²/2 = 90 kN·m

Resposta

M_max = 90 kN·m

Ele ocorre em x = 1,5 m a partir de A.

5.Treliça: método dos nós

Resposta: F_BC = −4,472 kN

Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.

Reações de apoio

Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 10·1 → C_y = 2 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 2 = 8 kN

Nó C

O apoio móvel dá apenas uma reação vertical, então o nó C tem só duas forças de barra desconhecidas. Suponha ambas tracionadas.

sin γ = 2/4,472 = 0,4472, cos γ = 4/4,472 = 0,8944

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −2/0,4472 = −4,472 kN

Resposta

F_BC = −4,472 kN (compressão)

6.Treliça: método dos nós

Resposta: membro CG

Membros de força nula: em um nó, as forças devem se equilibrar em todas as direções. Se um nó não tem carga nem apoio, e dois de seus três membros estão alinhados, então o equilíbrio na direção perpendicular a essa linha envolve apenas o terceiro membro, e portanto sua força é zero. Se apenas dois membros se encontram em um nó sem carga e não estão alinhados, ambos são nulos.

Nó C

BC e CD estão em uma mesma reta e o nó não tem carga. Equilibrar as forças na direção perpendicular a essa reta deixa apenas CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Verifique com o método dos nós

Resolver todos os nós dá estas forças nos membros (T = tração, C = compressão).

AB: 52,5 kN (T), BC: 37,5 kN (T), CD: 37,5 kN (T), DE: 22,5 kN (T), FG: 52,5 kN (C), GH: 22,5 kN (C), AF: 37,5 kN (C), HE: 37,5 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 0, DH: 30 kN (T), BG: 25 kN (T), DG: 25 kN (C)

Resposta

Membro de força nula: CG

7.Deflexão da viga

Resposta: δ_P = 6,027 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 14000 N, a = 1500 mm, b = 4500 mm, L = 6000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Deflexão sob a carga

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 14000·1500²·4500²/(3·5,88 × 10¹²·6000) = 6,027 mm

Resposta

δ_P = 6,027 mm

8.Deflexão da viga

Resposta: M_A = 80 kN·m

Retire o apoio

Sem o apoio a viga é um balanço. Sua extremidade livre defletiria sob a carga.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Compatibilidade no apoio

A força do apoio R_B sozinha levanta a extremidade livre em R_BL³/(3EI). O apoio mantém B com deflexão zero, então as duas devem se anular. EI se cancela.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·10·8/8 = 30 kN

Momento no engaste

Momentos em relação a A das cargas e da força do apoio.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 320 − 240 = 80 kN·m

Resposta

M_A = 80 kN·m

9.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 127,9 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·104167/750² = 127939 N = 127,9 kN

Resposta

P_cr = 127,9 kN

10.Flambagem de pilares

Resposta: d = 42,63 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 2·40000 = 80000 N

KL = 2·1000 = 2000 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·80000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 42,63 mm

Resposta

d = 42,63 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 187,7, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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