Análise Estrutural: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Reações de apoio em vigas

Equilíbrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L no meio da carga
Momento
M = F·d

Método

  1. Desenhe um diagrama de corpo livre e substitua cada apoio por suas reações.
  2. Substitua cada carga distribuída por uma única força no seu centroide.
  3. Tome momentos em relação a um apoio para encontrar a reação no outro.
  4. Use ΣFy = 0 para encontrar a reação restante e confira com uma segunda equação de momentos.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento
V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão
σ = M·y/I
Retângulo
I = bh³/12
Módulo de resistência
W = I/ymax
Viga biapoiada, carga uniforme
Mmax = wL²/8

Método

  1. Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
  2. Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
  3. Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
  4. Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Treliça: método dos nós

Método dos nós
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método das seções
ΣM = 0 about a cut point
Esforço na barra
positivo = tração, negativo = compressão

Método

  1. Encontre as reações de apoio da treliça inteira.
  2. Método dos nós: comece em um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas e use ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
  3. Método das seções: corte a barra de que você precisa e tome momentos em relação a um ponto onde as outras barras desconhecidas se encontram.
  4. Suponha tração; uma resposta negativa significa compressão.

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão
δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada
δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta
δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposição
δ = δ1 + δ2

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo
K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica
σcr = Pcr/A
Esbeltez
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Reações de apoio em vigasMédia
P1​ = 60 kNP2​ = 60 kNABRA​ = ?RB​1,5 m2,5 m2 m

A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Encontre a reação vertical de apoio RA.

L = 6 mP1 = 60 kN em 1,5 mP2 = 60 kN em 4 m
RA = kN
2.Reações de apoio em vigasDifícil
w0​ = 12 kN/mP = 30 kNABMA​ = ?3,5 m0,5 m

A viga em balanço está engastada na parede em A. Ela suporta uma carga linearmente variável que é zero na parede e cresce até 12 kN/m na extremidade livre B, além de uma carga concentrada P a 3,5 m da parede. Encontre o módulo do momento de reação MA na parede.

L = 4 mw0 = 12 kN/mP = 30 kN em 3,5 m
MA = kN·m
3.Esforço cortante e momento fletorMédia
M0​ = 15 kN·mAB1,5 m3,5 m

A viga simplesmente apoiada suporta um binário no sentido horário M0 = 15 kN·m em x = 1,5 m a partir de A, e nenhuma outra carga. Encontre o momento fletor Mx logo à direita do binário. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 5 mM0 = 15 kN·m no sentido horário, em 1,5 m
Mx = kN·m
4.Esforço cortante e momento fletorDifícil
w = 10 kN/mP = 55 kNABseção4 m6 m

Encontre o momento fletor Mx na seção x = 4 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 10 mP = 55 kN em 4 mw = 10 kN/m de 0 a 10 mx = 4 m
Mx = kN·m
5.Treliça: método dos nósMédia
ABCDEFGH40 kN25 kN15 kN20 kN4 × 4 m3 m

Exatamente um membro desta treliça não suporta força sob estas cargas. Qual é o membro de força nula? Clique nele no diagrama.

B: 40 kN ↓C: 25 kN ↓G: 15 kN ↓H: 20 kN ↓
  1. 1membro AB
  2. 2membro BC
  3. 3membro CD
  4. 4membro DE
  5. 5membro FG
  6. 6membro GH
  7. 7membro AF
  8. 8membro HE
  9. 9membro BF
  10. 10membro CG
  11. 11membro DH
  12. 12membro FC
  13. 13membro HC
6.Treliça: método dos nósDifícil
ABCDEFGH10 kN15 kN35 kN35 kN20 kN4 × 4 m3 m

Exatamente um membro desta treliça não suporta força sob estas cargas. Qual é o membro de força nula? Clique nele no diagrama.

B: 10 kN ↓D: 15 kN ↓F: 35 kN ↓F: 35 kN →H: 20 kN ↓
  1. 1membro AB
  2. 2membro BC
  3. 3membro CD
  4. 4membro DE
  5. 5membro FG
  6. 6membro GH
  7. 7membro AF
  8. 8membro HE
  9. 9membro BF
  10. 10membro CG
  11. 11membro DH
  12. 12membro FC
  13. 13membro HC
7.Deflexão da vigaMédia
P = 28 kNABδ1,5 m4,5 m

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga concentrada P a a = 1,5 m do apoio A. Encontre a deflexão δP sob a carga.

P = 28 kNa = 1,5 mL = 6 mE = 70 GPa (alumínio)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Deflexão da vigaDifícil
P = 9 kNABδ3,5 m2,5 m

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga concentrada P a b = 2,5 m do apoio B. Encontre a deflexão máxima δmax da viga.

P = 9 kNb = 2,5 mL = 6 mE = 200 GPa (aço)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Flambagem de pilaresMédia
PL = 2 m40 × 100 mmseção transversal

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e articulado no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem Pcr.

L = 2 mE = 70 GPa (alumínio)b × h = 40 × 100 mm
Pcr = kN
10.Flambagem de pilaresDifícil
P = 150 kNL = 6 md = ?seção transversal

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de alumínio está articulado nas duas extremidades. Ele deve suportar 150 kN com um fator de segurança de 3 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 150 kNn = 3L = 6 mE = 70 GPa (alumínio)
d = mm

3Soluções

1.Reações de apoio em vigas

Resposta: RA = 65 kN

Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Tomar momentos em relação a um apoio elimina a reação desse apoio da equação.

P1​ = 60 kNP2​ = 60 kNABRA​RB​1,5 m2,5 m2 m

Diagrama de corpo livre

Substitua os apoios por forças de reação. Um apoio móvel dá uma reação vertical; com apenas cargas verticais, o apoio fixo também dá uma reação vertical.

Equilíbrio

Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário. Depois o equilíbrio das forças verticais.

ΣMA = 0: RB·6 = 60·1,5 + 60·4
RB = 330/6 = 55 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 55 = 65 kN

Resposta

RA = 65 kN
2.Reações de apoio em vigas

Resposta: MA = 169 kN·m

Equilíbrio de balanços: um engaste pode empurrar para cima e também impedir a rotação, então dá uma reação vertical RA e um momento de reação MA. ΣFy = 0 dá RA, e os momentos em relação à parede dão MA = Σ(carga × distância até a parede). Uma carga distribuída atua como sua resultante no centroide do diagrama de carga.

Resultante da carga triangular

W = ½·12·4 = 24 kN
x̄ = 2L/3 = 2,667 m

Momento em relação à parede

MA = W·x̄ + P·a = 24·2,667 + 30·3,5 = 169 kN·m

Resposta

MA = 169 kN·m
3.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: Mx = 10,5 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Um binário aplicado faz o diagrama de momento fletor saltar do valor do binário.

Reações de apoio

Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário: RB·L − M0 = 0. Equilíbrio vertical: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 15/5 = 3 kN (para cima)
RA = −RB = −3 kN (para baixo)

Corte logo à direita do binário

A parte esquerda agora contém RA e o binário.

Mx = RA·a + M0 = −3·1,5 + 15 = 10,5 kN·m

Resposta

Mx = 10,5 kN·m
4.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: Mx = 252 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, atuando em x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 55·4 + 10·10·5
RB = 720/10 = 72 kN
ΣFy = 0: RA = 155 − 72 = 83 kN
w = 10 kN/mP = 55 kNABRA​ = 83RB​ = 72seção4 m6 m

Corte em x = 4 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = RA·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)
Mx = 83·4 − 10·4·2 = 252 kN·m

Resposta

Mx = 252 kN·m
5.Treliça: método dos nós

Resposta: membro DH

Membros de força nula: em um nó, as forças devem se equilibrar em todas as direções. Se um nó não tem carga nem apoio, e dois de seus três membros estão alinhados, então o equilíbrio na direção perpendicular a essa linha envolve apenas o terceiro membro, e portanto sua força é zero. Se apenas dois membros se encontram em um nó sem carga e não estão alinhados, ambos são nulos.

Nó D

CD e DE estão em uma mesma reta e o nó não tem carga. Equilibrar as forças na direção perpendicular a essa reta deixa apenas DH.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

Verifique com o método dos nós

Resolver todos os nós dá estas forças nos membros (T = tração, C = compressão).

AB: 73,33 kN (T), BC: 73,33 kN (T), CD: 60 kN (T), DE: 60 kN (T), FG: 93,33 kN (C), GH: 93,33 kN (C), AF: 91,67 kN (C), HE: 75 kN (C), BF: 40 kN (T), CG: 15 kN (C), DH: 0, FC: 25 kN (T), HC: 41,67 kN (T)

Resposta

Membro de força nula: DH
6.Treliça: método dos nós

Resposta: membro CG

Membros de força nula: em um nó, as forças devem se equilibrar em todas as direções. Se um nó não tem carga nem apoio, e dois de seus três membros estão alinhados, então o equilíbrio na direção perpendicular a essa linha envolve apenas o terceiro membro, e portanto sua força é zero. Se apenas dois membros se encontram em um nó sem carga e não estão alinhados, ambos são nulos.

Nó G

FG e GH estão em uma mesma reta e o nó não tem carga. Equilibrar as forças na direção perpendicular a essa reta deixa apenas CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Verifique com o método dos nós

Resolver todos os nós dá estas forças nos membros (T = tração, C = compressão).

AB: 82,92 kN (T), BC: 82,92 kN (T), CD: 58,75 kN (T), DE: 58,75 kN (T), FG: 70,83 kN (C), GH: 70,83 kN (C), AF: 59,9 kN (C), HE: 73,44 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 0, DH: 15 kN (T), FC: 15,1 kN (C), HC: 15,1 kN (T)

Resposta

Membro de força nula: CG
7.Deflexão da viga

Resposta: δP = 12,05 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 28000 N, a = 1500 mm, b = 4500 mm, L = 6000 mm
EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Deflexão sob a carga

δP = Pa²b²/(3EIL) = 28000·1500²·4500²/(3·5,88 × 10¹²·6000) = 12,05 mm

Resposta

δP = 12,05 mm
8.Deflexão da viga

Resposta: δmax = 22,96 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 9000 N, b = 2500 mm, L = 6000 mm
EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Posição do máximo

Igualar a zero a rotação no trecho mais longo dá a posição.

x = √((L² − b²)/3) = √((6000² − 2500²)/3) = 3149 mm

Deflexão máxima

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 22,96 mm

Resposta

δmax = 22,96 mm
9.Flambagem de pilares

Resposta: Pcr = 188 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em Pcr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

Imin = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·533333/1400² = 187992 N = 188 kN

Resposta

Pcr = 188 kN
10.Flambagem de pilares

Resposta: d = 147,8 mm

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em Pcr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Carga crítica necessária

Pcr = n·P = 3·150000 = 450000 N
KL = 1·6000 = 6000 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·450000·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 147,8 mm

Resposta

d = 147,8 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 162,3, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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