Análise Estrutural: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Reações de apoio em vigas

Equilíbrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carga uniforme: resultante w·L no meio da carga
Momento: M = F·d

Método

Desenhe um diagrama de corpo livre e substitua cada apoio por suas reações.
Substitua cada carga distribuída por uma única força no seu centroide.
Tome momentos em relação a um apoio para encontrar a reação no outro.
Use ΣF_y = 0 para encontrar a reação restante e confira com uma segunda equação de momentos.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Treliça: método dos nós

Método dos nós: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Método das seções: ΣM = 0 about a cut point
Esforço na barra: positivo = tração, negativo = compressão

Método

Encontre as reações de apoio da treliça inteira.
Método dos nós: comece em um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas e use ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0.
Método das seções: corte a barra de que você precisa e tome momentos em relação a um ponto onde as outras barras desconhecidas se encontram.
Suponha tração; uma resposta negativa significa compressão.

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Reações de apoio em vigasMédia

A viga tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B, a 4 m de A, e se estende em balanço além de B até a extremidade livre C. Encontre a reação vertical R_A, considerando positivo para cima.

AB = 4 mAC = 6 mP₁ = 40 kN em 3 mP₂ = 60 kN em 6 m

R_A = kN

2.Reações de apoio em vigasDifícil

A viga tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B, a 7 m de A, e se estende em balanço além de B até a extremidade livre C. Ela suporta uma carga concentrada P a 2 m de A e uma carga uniformemente distribuída w de 7 m até a extremidade livre em 10 m. Encontre a reação vertical R_A, considerando positivo para cima.

AB = 7 mAC = 10 mP = 60 kN em 2 mw = 4 kN/m de 7 a 10 m

R_A = kN

3.Esforço cortante e momento fletorMédia

A viga simplesmente apoiada suporta duas cargas concentradas. Encontre o momento fletor máximo M_max na viga.

L = 5 mP₁ = 20 kN em 1 mP₂ = 15 kN em 3 m

M_max = kN·m

4.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão e uma carga concentrada P. Encontre o momento fletor máximo M_max na viga.

L = 10 mP = 50 kN em 4 mw = 2 kN/m de 0 a 10 m

M_max = kN·m

5.Treliça: método dos nósMédia

Exatamente um membro desta treliça não suporta força sob estas cargas. Qual é o membro de força nula? Clique nele no diagrama.

B: 15 kN ↓D: 10 kN ↓G: 35 kN ↓H: 35 kN ↓

1membro AB
2membro BC
3membro CD
4membro DE
5membro FG
6membro GH
7membro AF
8membro HE
9membro BF
10membro CG
11membro DH
12membro BG
13membro DG

6.Treliça: método dos nósDifícil

Use o método dos nós para encontrar a força F_BC na barra BC. Dê tração como positiva e compressão como negativa.

vão = 6 maltura = 4 mB está a 2 m de Acarga vertical = 15 kNcarga horizontal = 20 kN ←

F_BC = kN

7.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a deflexão máxima δ_max, no meio do vão.

w = 4 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (aço)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w e uma carga concentrada P no meio do vão. Usando superposição, encontre a deflexão no meio do vão δ_max.

P = 11 kNw = 4 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (aço)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está articulado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (alumínio)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de aço está articulado nas duas extremidades. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 4 mE = 200 GPa (aço)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Reações de apoio em vigas

Resposta: R_A = −20 kN

Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Substitua cada carga distribuída pela sua resultante (a sua área) atuando no centroide do diagrama de carga, e tome momentos em relação a um apoio para eliminar a reação desse apoio da equação.

Momentos em relação a A

Anti-horário positivo.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 40·3 + 60·6

R_B = 480/4 = 120 kN

Equilíbrio vertical

R_A = 40 + 60 − 120 = −20 kN

Resposta

R_A = −20 kN

R_A é negativa: o apoio fixo em A precisa segurar a viga para baixo.

2.Reações de apoio em vigas

Resposta: R_A = 40,29 kN

Resultante da carga distribuída

W = 4·3 = 12 kN, x̄ = (7 + 10)/2 = 8,5 m

Equilíbrio

Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário. Depois o equilíbrio das forças verticais.

ΣM_A = 0: R_B·7 = 60·2 + 12·8,5

R_B = 222/7 = 31,71 kN

R_A = 72 − 31,71 = 40,29 kN

Resposta

R_A = 40,29 kN

3.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 26 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 20·1 + 15·3

R_B = 65/5 = 13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 35 − 13 = 22 kN

Momento sob cada carga

Fique com a parte à esquerda de cada carga.

sob P₁: M = R_A·1 = 22·1 = 22 kN·m

sob P₂: M = R_B·2 = 13·2 = 26 kN·m

Maior valor

M_max = 26 kN·m (sob P₂)

Resposta

M_max = 26 kN·m

4.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 144 kN·m

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, atuando em x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 50·4 + 2·10·5

R_B = 300/10 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 30 = 40 kN

Onde V = 0?

V(4⁻) = R_A − w·4 = 32 kN

V(4⁺) = 32 − 50 = −18 kN

O cortante muda de sinal na carga, então o máximo fica sob a carga.

Momento máximo

M_max = R_A·4 − w·4²/2 = 40·4 − 2·4²/2 = 144 kN·m

Resposta

M_max = 144 kN·m

Ele ocorre em x = 4 m a partir de A.

5.Treliça: método dos nós

Resposta: membro CG

Membros de força nula: em um nó, as forças devem se equilibrar em todas as direções. Se um nó não tem carga nem apoio, e dois de seus três membros estão alinhados, então o equilíbrio na direção perpendicular a essa linha envolve apenas o terceiro membro, e portanto sua força é zero. Se apenas dois membros se encontram em um nó sem carga e não estão alinhados, ambos são nulos.

Nó C

BC e CD estão em uma mesma reta e o nó não tem carga. Equilibrar as forças na direção perpendicular a essa reta deixa apenas CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Verifique com o método dos nós

Resolver todos os nós dá estas forças nos membros (T = tração, C = compressão).

AB: 40 kN (T), BC: 65 kN (T), CD: 65 kN (T), DE: 55 kN (T), FG: 40 kN (C), GH: 55 kN (C), AF: 56,57 kN (C), HE: 77,78 kN (C), BF: 40 kN (T), CG: 0, DH: 20 kN (T), BG: 35,36 kN (C), DG: 14,14 kN (C)

Resposta

Membro de força nula: CG

6.Treliça: método dos nós

Resposta: F_BC = 11,79 kN

Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.

Reações de apoio

Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 15·2 − 20·4 → C_y = −8,333 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − −8,333 = 23,33 kN

ΣF_x = 0: A_x = 20 kN

Nó C

O apoio móvel dá apenas uma reação vertical, então o nó C tem só duas forças de barra desconhecidas. Suponha ambas tracionadas.

sin γ = 4/5,657 = 0,7071, cos γ = 4/5,657 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−8,333/0,7071 = 11,79 kN

Resposta

F_BC = 11,79 kN (tração)

7.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 1,758 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 3000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Deflexão

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·3000⁴/(384·2,4 × 10¹²) = 1,758 mm

Resposta

δ_max = 1,758 mm

8.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 6,964 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 11000 N, w = 4 N/mm, L = 6000 mm, EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Cada carga sozinha

δ_P = PL³/(48EI) = 11000·6000³/(48·1,68 × 10¹³) = 2,946 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·6000⁴/(384·1,68 × 10¹³) = 4,018 mm

Some

δ_max = 2,946 + 4,018 = 6,964 mm

Resposta

δ_max = 6,964 mm

9.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 5,426 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 1·4000 = 4000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/4000² = 5426 N = 5,426 kN

Resposta

P_cr = 5,426 kN

10.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 6,94 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 1·4000 = 4000 mm

KL/r = 4000/7,5 = 533,3

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/533,3² = 6,94 MPa

Resposta

σ_cr = 6,94 MPa

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