Análise Estrutural: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Reações de apoio em vigas

Equilíbrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L no meio da carga
Momento
M = F·d

Método

  1. Desenhe um diagrama de corpo livre e substitua cada apoio por suas reações.
  2. Substitua cada carga distribuída por uma única força no seu centroide.
  3. Tome momentos em relação a um apoio para encontrar a reação no outro.
  4. Use ΣFy = 0 para encontrar a reação restante e confira com uma segunda equação de momentos.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento
V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão
σ = M·y/I
Retângulo
I = bh³/12
Módulo de resistência
W = I/ymax
Viga biapoiada, carga uniforme
Mmax = wL²/8

Método

  1. Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
  2. Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
  3. Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
  4. Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Treliça: método dos nós

Método dos nós
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método das seções
ΣM = 0 about a cut point
Esforço na barra
positivo = tração, negativo = compressão

Método

  1. Encontre as reações de apoio da treliça inteira.
  2. Método dos nós: comece em um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas e use ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
  3. Método das seções: corte a barra de que você precisa e tome momentos em relação a um ponto onde as outras barras desconhecidas se encontram.
  4. Suponha tração; uma resposta negativa significa compressão.

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão
δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada
δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta
δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposição
δ = δ1 + δ2

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo
K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica
σcr = Pcr/A
Esbeltez
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Reações de apoio em vigasMédia
w = 5 kN/mP = 55 kNABMA​ = ?3 m1 m

A viga em balanço está engastada na parede em A. Ela suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento e uma carga concentrada P a 3 m da parede. Encontre o módulo do momento de reação MA na parede.

L = 4 mP = 55 kN em 3 mw = 5 kN/m de 0 a 4 m
MA = kN·m
2.Reações de apoio em vigasDifícil
w = 6 kN/mP = 55 kNABRA​RB​ = ?1 m0,5 m1,5 m1 m

A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Encontre a reação vertical de apoio RB.

L = 4 mP = 55 kN em 1,5 mw = 6 kN/m de 1 a 3 m
RB = kN
3.Esforço cortante e momento fletorMédia
P1​ = 70 kNP2​ = 45 kNAB1 m1 m2 m

A viga simplesmente apoiada suporta duas cargas concentradas. Encontre o momento fletor máximo Mmax na viga.

L = 4 mP1 = 70 kN em 1 mP2 = 45 kN em 2 m
Mmax = kN·m
4.Esforço cortante e momento fletorDifícil
4 kN/m20 kN30 kN30 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

20 kN @ 0 m30 kN @ 6 m30 kN @ 3 m4 kN/m, 1–4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
5.Treliça: método dos nósMédia
ABCDEFGH15 kN25 kN15 kN15 kN4 × 3 m3 m

Exatamente um membro desta treliça não suporta força sob estas cargas. Qual é o membro de força nula? Clique nele no diagrama.

D: 15 kN ↓F: 25 kN ↓G: 15 kN ↓H: 15 kN ↓
  1. 1membro AB
  2. 2membro BC
  3. 3membro CD
  4. 4membro DE
  5. 5membro FG
  6. 6membro GH
  7. 7membro AF
  8. 8membro HE
  9. 9membro BF
  10. 10membro CG
  11. 11membro DH
  12. 12membro FC
  13. 13membro HC
6.Treliça: método dos nósDifícil
ABCDEFGH35 kN15 kN20 kN25 kN4 × 3 m3 m

Exatamente um membro desta treliça não suporta força sob estas cargas. Qual é o membro de força nula? Clique nele no diagrama.

B: 35 kN ↓D: 15 kN ↓F: 20 kN →G: 25 kN ↓
  1. 1membro AB
  2. 2membro BC
  3. 3membro CD
  4. 4membro DE
  5. 5membro FG
  6. 6membro GH
  7. 7membro AF
  8. 8membro HE
  9. 9membro BF
  10. 10membro CG
  11. 11membro DH
  12. 12membro BG
  13. 13membro DG
7.Deflexão da vigaMédia
P = 28 kNABδ1 m2 m

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga concentrada P a a = 1 m do apoio A. Encontre a deflexão δP sob a carga.

P = 28 kNa = 1 mL = 3 mE = 11 GPa (madeira estrutural)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Deflexão da vigaDifícil
w = 2 kN/mABδ4 m

Uma viga de madeira simplesmente apoiada, de seção retangular com 100 mm de largura, suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Sua deflexão no meio do vão não pode passar de vão/250. Encontre a menor altura hreq da seção.

w = 2 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (madeira estrutural)b = 100 mm
hreq = mm
9.Flambagem de pilaresMédia
PL = 1,5 m20 × 50 mmseção transversal

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e articulado no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem Pcr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (alumínio)b × h = 20 × 50 mm
Pcr = kN
10.Flambagem de pilaresDifícil
PL = 4 md = 20 mmseção transversal

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado nas duas extremidades. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σcr pela fórmula de Euler.

L = 4 mE = 200 GPa (aço)d = 20 mm
σcr = MPa

3Soluções

1.Reações de apoio em vigas

Resposta: MA = 205 kN·m

Equilíbrio de balanços: um engaste pode empurrar para cima e também impedir a rotação, então dá uma reação vertical RA e um momento de reação MA. ΣFy = 0 dá RA, e os momentos em relação à parede dão MA = Σ(carga × distância até a parede). Uma carga distribuída atua como sua resultante no centroide do diagrama de carga.

Resultante da carga distribuída

W = 5·4 = 20 kN, x̄ = 2 m

Momento em relação à parede

MA = P·a + W·x̄ = 55·3 + 20·2 = 205 kN·m

Resposta

MA = 205 kN·m
2.Reações de apoio em vigas

Resposta: RB = 26,63 kN

Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Tomar momentos em relação a um apoio elimina a reação desse apoio da equação.

w = 6 kN/mP = 55 kNABRA​RB​1 m0,5 m1,5 m1 m

Diagrama de corpo livre

Substitua os apoios por forças de reação. Um apoio móvel dá uma reação vertical; com apenas cargas verticais, o apoio fixo também dá uma reação vertical.

Equilíbrio

Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário. Depois o equilíbrio das forças verticais.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 6·2 = 12 kN, atuando em x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 55·1,5 + 6·2·2
RB = 106,5/4 = 26,63 kN
ΣFy = 0: RA = 67 − 26,63 = 40,38 kN

Resposta

RB = 26,63 kN
3.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: Mmax = 80 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

ΣMA = 0: RB·4 = 70·1 + 45·2
RB = 160/4 = 40 kN
ΣFy = 0: RA = 115 − 40 = 75 kN

Momento sob cada carga

Fique com a parte à esquerda de cada carga.

sob P1: M = RA·1 = 75·1 = 75 kN·m
sob P2: M = RB·2 = 40·2 = 80 kN·m

Maior valor

Mmax = 80 kN·m (sob P2)

Resposta

Mmax = 80 kN·m
4.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: E (x = 4 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R1 = 22,67 kN, R2 = 69,33 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

MA = 0, MB = −20, MC = −19,33, MD = −22,67, ME = −60 kN·m, MF = −30, MG = 0

Resposta

Marca E: ME = −60 kN·m
5.Treliça: método dos nós

Resposta: membro BF

Membros de força nula: em um nó, as forças devem se equilibrar em todas as direções. Se um nó não tem carga nem apoio, e dois de seus três membros estão alinhados, então o equilíbrio na direção perpendicular a essa linha envolve apenas o terceiro membro, e portanto sua força é zero. Se apenas dois membros se encontram em um nó sem carga e não estão alinhados, ambos são nulos.

Nó B

AB e BC estão em uma mesma reta e o nó não tem carga. Equilibrar as forças na direção perpendicular a essa reta deixa apenas BF.

ΣF⊥ = 0 → FBF = 0

Verifique com o método dos nós

Resolver todos os nós dá estas forças nos membros (T = tração, C = compressão).

AB: 33,75 kN (T), BC: 33,75 kN (T), CD: 36,25 kN (T), DE: 36,25 kN (T), FG: 42,5 kN (C), GH: 42,5 kN (C), AF: 47,73 kN (C), HE: 51,27 kN (C), BF: 0, CG: 15 kN (C), DH: 15 kN (T), FC: 12,37 kN (T), HC: 8,839 kN (T)

Resposta

Membro de força nula: BF
6.Treliça: método dos nós

Resposta: membro CG

Membros de força nula: em um nó, as forças devem se equilibrar em todas as direções. Se um nó não tem carga nem apoio, e dois de seus três membros estão alinhados, então o equilíbrio na direção perpendicular a essa linha envolve apenas o terceiro membro, e portanto sua força é zero. Se apenas dois membros se encontram em um nó sem carga e não estão alinhados, ambos são nulos.

Nó C

BC e CD estão em uma mesma reta e o nó não tem carga. Equilibrar as forças na direção perpendicular a essa reta deixa apenas CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Verifique com o método dos nós

Resolver todos os nós dá estas forças nos membros (T = tração, C = compressão).

AB: 57,5 kN (T), BC: 60 kN (T), CD: 60 kN (T), DE: 37,5 kN (T), FG: 57,5 kN (C), GH: 37,5 kN (C), AF: 53,03 kN (C), HE: 53,03 kN (C), BF: 37,5 kN (T), CG: 0, DH: 37,5 kN (T), BG: 3,536 kN (C), DG: 31,82 kN (C)

Resposta

Membro de força nula: CG
7.Deflexão da viga

Resposta: δP = 9,428 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 28000 N, a = 1000 mm, b = 2000 mm, L = 3000 mm
EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Deflexão sob a carga

δP = Pa²b²/(3EIL) = 28000·1000²·2000²/(3·1,32 × 10¹²·3000) = 9,428 mm

Resposta

δP = 9,428 mm
8.Deflexão da viga

Resposta: hreq = 165,7 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²

Limite de deflexão

δallow = L/250 = 4000/250 = 16 mm

Momento de inércia necessário

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·4000⁴/(384·11000·16) = 3,788 × 10⁷ mm⁴

Altura necessária

bh³/12 = Ireq → h = (12·3,788 × 10⁷/100)1/3 = 165,7 mm

Resposta

hreq = 165,7 mm

Na prática, escolha a próxima altura padronizada acima desse valor.

9.Flambagem de pilares

Resposta: Pcr = 20,89 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em Pcr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

Imin = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·33333/1050² = 20888 N = 20,89 kN

Resposta

Pcr = 20,89 kN
10.Flambagem de pilares

Resposta: σcr = 12,34 MPa

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em Pcr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 314,2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm
KL = 0,5·4000 = 2000 mm
KL/r = 2000/5 = 400

Tensão crítica

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Resposta

σcr = 12,34 MPa

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