Análise Estrutural: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercícios Voltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Reações de apoio em vigas

Equilíbrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carga uniforme: resultante w·L no meio da carga
Momento: M = F·d

Método

Desenhe um diagrama de corpo livre e substitua cada apoio por suas reações.
Substitua cada carga distribuída por uma única força no seu centroide.
Tome momentos em relação a um apoio para encontrar a reação no outro.
Use ΣF_y = 0 para encontrar a reação restante e confira com uma segunda equação de momentos.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Treliça: método dos nós

Método dos nós: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Método das seções: ΣM = 0 about a cut point
Esforço na barra: positivo = tração, negativo = compressão

Método

Encontre as reações de apoio da treliça inteira.
Método dos nós: comece em um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas e use ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0.
Método das seções: corte a barra de que você precisa e tome momentos em relação a um ponto onde as outras barras desconhecidas se encontram.
Suponha tração; uma resposta negativa significa compressão.

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Reações de apoio em vigasMédia

A viga em balanço está engastada na parede em A. Ela suporta uma carga uniformemente distribuída w da parede até 6 m e uma carga concentrada P a 3 m da parede. Encontre o módulo do momento de reação M_A na parede.

L = 10 mP = 20 kN em 3 mw = 6 kN/m de 0 a 6 m

M_A = kN·m

2.Reações de apoio em vigasDifícil

A viga em balanço está engastada na parede em A. Ela suporta uma carga linearmente variável que é zero na parede e cresce até 10 kN/m na extremidade livre B, além de uma carga concentrada P a 6 m da parede. Encontre o módulo do momento de reação M_A na parede.

L = 6 mw₀ = 10 kN/mP = 15 kN em 6 m

M_A = kN·m

3.Esforço cortante e momento fletorMédia

A viga simplesmente apoiada suporta um binário no sentido horário M₀ = 25 kN·m em x = 2 m a partir de A, e nenhuma outra carga. Encontre o momento fletor M_x logo à esquerda do binário. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 8 mM₀ = 25 kN·m no sentido horário, em 2 m

M_x = kN·m

4.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão e uma carga concentrada P. Encontre o momento fletor máximo M_max na viga.

L = 6 mP = 30 kN em 2 mw = 10 kN/m de 0 a 6 m

M_max = kN·m

5.Treliça: método dos nósMédia

Use o método dos nós para encontrar a força F_BC na barra BC. Dê tração como positiva e compressão como negativa.

vão = 4 maltura = 4 mB está a 3 m de Acarga vertical = 40 kN

F_BC = kN

6.Treliça: método dos nósDifícil

Exatamente um membro desta treliça não suporta força sob estas cargas. Qual é o membro de força nula? Clique nele no diagrama.

B: 40 kN ↓D: 10 kN ↓F: 30 kN ↓F: 30 kN →

1membro AB
2membro BC
3membro CD
4membro DE
5membro FG
6membro GH
7membro AF
8membro HE
9membro BF
10membro CG
11membro DH
12membro BG
13membro DG

7.Deflexão da vigaMédia

Uma viga em balanço suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento. Encontre a deflexão δ na extremidade livre.

w = 6 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (aço)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta duas cargas concentradas iguais P nos terços do vão (a L/3 de cada apoio). Usando superposição, encontre a deflexão no meio do vão δ_max.

P = 9 kNL = 8 mE = 70 GPa (alumínio)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado na base e livre no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (aço)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

10.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de alumínio está articulado nas duas extremidades. Ele deve suportar 15 kN com um fator de segurança de 2 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 15 kNn = 2L = 3 mE = 70 GPa (alumínio)

d = mm

3Soluções

1.Reações de apoio em vigas

Resposta: M_A = 168 kN·m

Equilíbrio de balanços: um engaste pode empurrar para cima e também impedir a rotação, então dá uma reação vertical R_A e um momento de reação M_A. ΣF_y = 0 dá R_A, e os momentos em relação à parede dão M_A = Σ(carga × distância até a parede). Uma carga distribuída atua como sua resultante no centroide do diagrama de carga.

Resultante da carga distribuída

W = 6·6 = 36 kN, x̄ = 3 m

Momento em relação à parede

M_A = P·a + W·x̄ = 20·3 + 36·3 = 168 kN·m

Resposta

M_A = 168 kN·m

2.Reações de apoio em vigas

Resposta: M_A = 210 kN·m

Resultante da carga triangular

W = ½·10·6 = 30 kN

x̄ = 2L/3 = 4 m

Momento em relação à parede

M_A = W·x̄ + P·a = 30·4 + 15·6 = 210 kN·m

Resposta

M_A = 210 kN·m

3.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = −6,25 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Um binário aplicado faz o diagrama de momento fletor saltar do valor do binário.

Reações de apoio

Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário: R_B·L − M₀ = 0. Equilíbrio vertical: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 25/8 = 3,125 kN (para cima)

R_A = −R_B = −3,125 kN (para baixo)

Corte logo à esquerda do binário

A parte esquerda contém apenas R_A.

M_x = R_A·a = −3,125·2 = −6,25 kN·m

Resposta

M_x = −6,25 kN·m

4.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 80 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, atuando em x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 30·2 + 10·6·3

R_B = 240/6 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 40 = 50 kN

Onde V = 0?

V(2⁻) = R_A − w·2 = 30 kN

V(2⁺) = 30 − 30 = 0 kN

O cortante muda de sinal na carga, então o máximo fica sob a carga.

Momento máximo

M_max = R_A·2 − w·2²/2 = 50·2 − 10·2²/2 = 80 kN·m

Resposta

M_max = 80 kN·m

Ele ocorre em x = 2 m a partir de A.

5.Treliça: método dos nós

Resposta: F_BC = −30,92 kN

Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.

Reações de apoio

Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 40·3 → C_y = 30 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 30 = 10 kN

Nó C

O apoio móvel dá apenas uma reação vertical, então o nó C tem só duas forças de barra desconhecidas. Suponha ambas tracionadas.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −30/0,9701 = −30,92 kN

Resposta

F_BC = −30,92 kN (compressão)

6.Treliça: método dos nós

Resposta: membro CG

Membros de força nula: em um nó, as forças devem se equilibrar em todas as direções. Se um nó não tem carga nem apoio, e dois de seus três membros estão alinhados, então o equilíbrio na direção perpendicular a essa linha envolve apenas o terceiro membro, e portanto sua força é zero. Se apenas dois membros se encontram em um nó sem carga e não estão alinhados, ambos são nulos.

Nó C

BC e CD estão em uma mesma reta e o nó não tem carga. Equilibrar as forças na direção perpendicular a essa reta deixa apenas CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Verifique com o método dos nós

Resolver todos os nós dá estas forças nos membros (T = tração, C = compressão).

AB: 77,5 kN (T), BC: 55 kN (T), CD: 55 kN (T), DE: 32,5 kN (T), FG: 77,5 kN (C), GH: 32,5 kN (C), AF: 67,18 kN (C), HE: 45,96 kN (C), BF: 17,5 kN (T), CG: 0, DH: 32,5 kN (T), BG: 31,82 kN (T), DG: 31,82 kN (C)

Resposta

Membro de força nula: CG

7.Deflexão da viga

Resposta: δ = 1,744 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Deflexão

δ = wL⁴/(8EI) = 6·2500⁴/(8·1,68 × 10¹³) = 1,744 mm

Resposta

δ = 1,744 mm

8.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 40,99 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 9000 N, L = 8000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Uma carga em L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2667 mm

δ₁ = 20,5 mm

Some as duas cargas

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 40,99 mm

Resposta

δ_max = 40,99 mm

9.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 20,56 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 2·5000 = 10000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·1,042 × 10⁶/10000² = 20562 N = 20,56 kN

Resposta

P_cr = 20,56 kN

10.Flambagem de pilares

Resposta: d = 53,12 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 2·15000 = 30000 N

KL = 1·3000 = 3000 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 53,12 mm

Resposta

d = 53,12 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 225,9, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis