Análise Estrutural: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Reações de apoio em vigas

Equilíbrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carga uniforme: resultante w·L no meio da carga
Momento: M = F·d

Método

Desenhe um diagrama de corpo livre e substitua cada apoio por suas reações.
Substitua cada carga distribuída por uma única força no seu centroide.
Tome momentos em relação a um apoio para encontrar a reação no outro.
Use ΣF_y = 0 para encontrar a reação restante e confira com uma segunda equação de momentos.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Treliça: método dos nós

Método dos nós: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Método das seções: ΣM = 0 about a cut point
Esforço na barra: positivo = tração, negativo = compressão

Método

Encontre as reações de apoio da treliça inteira.
Método dos nós: comece em um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas e use ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0.
Método das seções: corte a barra de que você precisa e tome momentos em relação a um ponto onde as outras barras desconhecidas se encontram.
Suponha tração; uma resposta negativa significa compressão.

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Reações de apoio em vigasMédia

A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Encontre a reação vertical de apoio R_A.

L = 8 mP₁ = 50 kN em 3 mP₂ = 40 kN em 6 m

R_A = kN

2.Reações de apoio em vigasDifícil

Uma viga composta está engastada na parede em A, tem uma rótula interna em C (a 4 m de A) e se apoia em um apoio móvel em D (a 8 m de A). Ela suporta uma carga concentrada P a 7 m de A. Encontre a reação R_D no apoio móvel.

AC = 4 mAD = 8 mP = 70 kN em 7 m

R_D = kN

3.Esforço cortante e momento fletorMédia

A viga em balanço está engastada em A. Ela suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento e uma carga concentrada P a 1,5 m de A. Encontre o momento fletor M_x na seção x = 0,5 m a partir do engaste A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 2 mP = 60 kN em 1,5 mw = 3 kN/m de 0 a 2 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

4.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga se apoia em um apoio fixo em A e em um apoio móvel em B e se estende 1 m além de B, em balanço, até a extremidade livre C. Uma carga uniformemente distribuída w atua em todo o comprimento A–C. Encontre a distância x_c de A até o ponto de inflexão entre os apoios (onde o momento fletor muda de sinal).

L = 9 mw = 12 kN/m de 0 a 9 mapoios em x = 0 e x = 8 m

x_c = m

5.Treliça: método dos nósMédia

Exatamente um membro desta treliça não suporta força sob estas cargas. Qual é o membro de força nula? Clique nele no diagrama.

B: 10 kN ↓D: 20 kN ↓F: 15 kN ↓G: 30 kN ↓

1membro AB
2membro BC
3membro CD
4membro DE
5membro FG
6membro GH
7membro AF
8membro HE
9membro BF
10membro CG
11membro DH
12membro BG
13membro DG

6.Treliça: método dos nósDifícil

Use o método dos nós para encontrar a força F_AC na barra AC. Dê tração como positiva e compressão como negativa.

vão = 6 maltura = 4 mB está a 2 m de Acarga vertical = 50 kNcarga horizontal = 20 kN ←

F_AC = kN

7.Deflexão da vigaMédia

Uma viga em balanço suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento. Encontre a deflexão δ na extremidade livre.

w = 20 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (madeira estrutural)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w. Sua deflexão não pode passar de vão/360. Encontre o menor momento de inércia I_req que atende a esse limite.

w = 10 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (alumínio)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (alumínio)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

10.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e articulado no topo. Ele deve suportar 105 kN com um fator de segurança de 3 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 105 kNn = 3L = 3 mE = 70 GPa (alumínio)

d = mm

3Soluções

1.Reações de apoio em vigas

Resposta: R_A = 41,25 kN

Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Tomar momentos em relação a um apoio elimina a reação desse apoio da equação.

Diagrama de corpo livre

Substitua os apoios por forças de reação. Um apoio móvel dá uma reação vertical; com apenas cargas verticais, o apoio fixo também dá uma reação vertical.

Equilíbrio

Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário. Depois o equilíbrio das forças verticais.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 50·3 + 40·6

R_B = 390/8 = 48,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 48,75 = 41,25 kN

Resposta

R_A = 41,25 kN

2.Reações de apoio em vigas

Resposta: R_D = 52,5 kN

Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Substitua cada carga distribuída pela sua resultante (a sua área) atuando no centroide do diagrama de carga, e tome momentos em relação a um apoio para eliminar a reação desse apoio da equação. Uma rótula interna não pode transmitir momento fletor, o que dá uma equação adicional: o momento em relação à rótula das forças de qualquer um dos lados é zero.

Trecho CD

A rótula não tem momento, então os momentos em relação a C só no trecho CD devem se equilibrar.

ΣM_C = 0: R_D·4 = 70·3

R_D = 52,5 kN

V_C = 70 − 52,5 = 17,5 kN

Resposta

R_D = 52,5 kN

3.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = −63,38 kN·m

Fique com a parte da extremidade livre

P: −60·1 = −60 kN·m

w: −3·1,5²/2 = −3,375 kN·m

M_x = −60 − 3,375 = −63,38 kN·m

Resposta

M_x = −63,38 kN·m

Negativo significa tração na face superior.

4.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: x_c = 7,875 m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira, incluindo a carga no balanço.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 12·9 = 108 kN, atuando em x̄ = 4,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 12·9·4,5

R_B = 486/8 = 60,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 108 − 60,75 = 47,25 kN

Momento nulo

Entre os apoios M(x) = R_A·x − w·x²/2. Além de x = 0, ele é zero em x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·47,25/12 = 7,875 m

Resposta

x_c = 7,875 m

5.Treliça: método dos nós

Resposta: membro CG

Membros de força nula: em um nó, as forças devem se equilibrar em todas as direções. Se um nó não tem carga nem apoio, e dois de seus três membros estão alinhados, então o equilíbrio na direção perpendicular a essa linha envolve apenas o terceiro membro, e portanto sua força é zero. Se apenas dois membros se encontram em um nó sem carga e não estão alinhados, ambos são nulos.

Nó C

BC e CD estão em uma mesma reta e o nó não tem carga. Equilibrar as forças na direção perpendicular a essa reta deixa apenas CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Verifique com o método dos nós

Resolver todos os nós dá estas forças nos membros (T = tração, C = compressão).

AB: 38,75 kN (T), BC: 52,5 kN (T), CD: 52,5 kN (T), DE: 36,25 kN (T), FG: 38,75 kN (C), GH: 36,25 kN (C), AF: 54,8 kN (C), HE: 51,27 kN (C), BF: 23,75 kN (T), CG: 0, DH: 36,25 kN (T), BG: 19,45 kN (C), DG: 22,98 kN (C)

Resposta

Membro de força nula: CG

6.Treliça: método dos nós

Resposta: F_AC = 3,333 kN

Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.

Reações de apoio

Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 50·2 − 20·4 → C_y = 3,333 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 3,333 = 46,67 kN

ΣF_x = 0: A_x = 20 kN

Nó C

O apoio móvel dá apenas uma reação vertical, então o nó C tem só duas forças de barra desconhecidas. Suponha ambas tracionadas.

sin γ = 4/5,657 = 0,7071, cos γ = 4/5,657 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −3,333/0,7071 = −4,714 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−4,714)·0,7071 = 3,333 kN

Resposta

F_AC = 3,333 kN (tração)

7.Deflexão da viga

Resposta: δ = 7,191 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 1500 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Deflexão

δ = wL⁴/(8EI) = 20·1500⁴/(8·1,76 × 10¹²) = 7,191 mm

Resposta

δ = 7,191 mm

8.Deflexão da viga

Resposta: I_req = 2,26 × 10⁶ mm⁴

Limite de deflexão

δ_allow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

Momento de inércia necessário

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·10·1500⁴/(384·70000·4,167) = 2,26 × 10⁶ mm⁴

I_req = 2,26 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_req = 2,26 × 10⁶ mm⁴

9.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 7,996 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·104167/3000² = 7996 N = 7,996 kN

Resposta

P_cr = 7,996 kN

10.Flambagem de pilares

Resposta: d = 80 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 3·105000 = 315000 N

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·315000·2100²/(π³·70000))^(1/4) = 80 mm

Resposta

d = 80 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 105, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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