Análise Estrutural: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Reações de apoio em vigas

Equilíbrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L no meio da carga
Momento
M = F·d

Método

  1. Desenhe um diagrama de corpo livre e substitua cada apoio por suas reações.
  2. Substitua cada carga distribuída por uma única força no seu centroide.
  3. Tome momentos em relação a um apoio para encontrar a reação no outro.
  4. Use ΣFy = 0 para encontrar a reação restante e confira com uma segunda equação de momentos.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento
V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão
σ = M·y/I
Retângulo
I = bh³/12
Módulo de resistência
W = I/ymax
Viga biapoiada, carga uniforme
Mmax = wL²/8

Método

  1. Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
  2. Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
  3. Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
  4. Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Treliça: método dos nós

Método dos nós
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método das seções
ΣM = 0 about a cut point
Esforço na barra
positivo = tração, negativo = compressão

Método

  1. Encontre as reações de apoio da treliça inteira.
  2. Método dos nós: comece em um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas e use ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
  3. Método das seções: corte a barra de que você precisa e tome momentos em relação a um ponto onde as outras barras desconhecidas se encontram.
  4. Suponha tração; uma resposta negativa significa compressão.

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão
δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada
δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta
δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposição
δ = δ1 + δ2

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo
K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica
σcr = Pcr/A
Esbeltez
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Reações de apoio em vigasMédia
P1​ = 60 kNP2​ = 30 kNABRA​RB​ = ?3 m3 m2 m

A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Encontre a reação vertical de apoio RB.

L = 8 mP1 = 60 kN em 3 mP2 = 30 kN em 6 m
RB = kN
2.Reações de apoio em vigasDifícil
P = 20 kN, 30°Q = 60 kNABα = ?3 m2 m3 m

A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Uma carga P atua a 5 m de A, inclinada a 30° em relação à horizontal, e uma carga vertical Q atua a 3 m de A. Encontre o ângulo α entre a força de reação total no apoio fixo A e a horizontal.

L = 8 mP = 20 kN em 5 m, θ = 30°Q = 60 kN em 3 m
α = °
3.Esforço cortante e momento fletorMédia
10 kN/m50 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

50 kN @ 2 m10 kN/m, 1–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
4.Esforço cortante e momento fletorDifícil
15 kN/m60 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

60 kN @ 6 m15 kN/m, 0–4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
5.Treliça: método dos nósMédia
ABBCACACB15 kN5 m4 m4 m

Use o método dos nós para encontrar a força FAC na barra AC. Dê tração como positiva e compressão como negativa.

vão = 5 maltura = 4 mB está a 4 m de Acarga vertical = 15 kN
FAC = kN
6.Treliça: método dos nósDifícil
ABBCACACB45 kN30 kN6 m1 m3 m

Use o método dos nós para encontrar a força FAC na barra AC. Dê tração como positiva e compressão como negativa.

vão = 6 maltura = 3 mB está a 1 m de Acarga vertical = 45 kNcarga horizontal = 30 kN →
FAC = kN
7.Deflexão da vigaMédia
P = 28 kNABδ1 m7 m

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga concentrada P a a = 1 m do apoio A. Encontre a deflexão δP sob a carga.

P = 28 kNa = 1 mL = 8 mE = 200 GPa (aço)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Deflexão da vigaDifícil
P = 70 kNAB4 m4 m

Uma viga engastada e apoiada está engastada em A e simplesmente apoiada em B. Ela suporta uma carga concentrada P no meio do vão. EI é constante. Encontre a reação RB no apoio B.

L = 8 mP = 70 kN em 4 m
RB = kN
9.Flambagem de pilaresMédia
PL = 3 m30 × 60 mmseção transversal

Um pilar de comprimento L feito de aço está articulado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem Pcr.

L = 3 mE = 200 GPa (aço)b × h = 30 × 60 mm
Pcr = kN
10.Flambagem de pilaresDifícil
P = 105 kNL = 5 md = ?seção transversal

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de aço está engastado na base e articulado no topo. Ele deve suportar 105 kN com um fator de segurança de 3 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 105 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (aço)
d = mm

3Soluções

1.Reações de apoio em vigas

Resposta: RB = 45 kN

Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Tomar momentos em relação a um apoio elimina a reação desse apoio da equação.

P1​ = 60 kNP2​ = 30 kNABRA​RB​3 m3 m2 m

Diagrama de corpo livre

Substitua os apoios por forças de reação. Um apoio móvel dá uma reação vertical; com apenas cargas verticais, o apoio fixo também dá uma reação vertical.

Equilíbrio

Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário. Depois o equilíbrio das forças verticais.

ΣMA = 0: RB·8 = 60·3 + 30·6
RB = 360/8 = 45 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 45 = 45 kN

Resposta

RB = 45 kN
2.Reações de apoio em vigas

Resposta: α = 67,22 °

Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Substitua cada carga distribuída pela sua resultante (a sua área) atuando no centroide do diagrama de carga, e tome momentos em relação a um apoio para eliminar a reação desse apoio da equação.

Componentes de P

Pv = 20·sin 30° = 10 kN
Ph = 20·cos 30° = 17,32 kN

Reações

ΣMA = 0: RB·8 = 10·5 + 60·3 → RB = 28,75 kN
Ay = 10 + 60 − 28,75 = 41,25 kN
Ax = Ph = 17,32 kN

Direção em A

α = atan(Ay/Ax) = atan(41,25/17,32) = 67,22°

Resposta

α = 67,22°
3.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: C (x = 2 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R1 = 54,17 kN, R2 = 45,83 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

MA = 0, MB = 54,17, MC = 103,3 kN·m, MD = 92,5, ME = 71,67, MF = 40,83, MG = 0

Resposta

Marca C: MC = 103,3 kN·m
4.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: E (x = 4 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R1 = 0 kN, R2 = 120 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

MA = 0, MB = −7,5, MC = −30, MD = −67,5, ME = −120 kN·m, MF = −60, MG = 0

Resposta

Marca E: ME = −120 kN·m
5.Treliça: método dos nós

Resposta: FAC = 3 kN

Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣFx = 0 e ΣFy = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.

ABBCACACB15 kNAy​Cy​

Reações de apoio

Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.

ΣMA = 0: Cy·5 = 15·4 → Cy = 12 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 12 = 3 kN

Nó C

O apoio móvel dá apenas uma reação vertical, então o nó C tem só duas forças de barra desconhecidas. Suponha ambas tracionadas.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −12/0,9701 = −12,37 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−12,37)·0,2425 = 3 kN

Resposta

FAC = 3 kN (tração)
6.Treliça: método dos nós

Resposta: FAC = 37,5 kN

Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣFx = 0 e ΣFy = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.

ABBCACACB45 kN30 kNAy​Cy​Ax​

Reações de apoio

Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.

ΣMA = 0: Cy·6 = 45·1 + 30·3 → Cy = 22,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 22,5 = 22,5 kN
ΣFx = 0: Ax = −30 kN

Nó C

O apoio móvel dá apenas uma reação vertical, então o nó C tem só duas forças de barra desconhecidas. Suponha ambas tracionadas.

sin γ = 3/5,831 = 0,5145, cos γ = 5/5,831 = 0,8575
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −22,5/0,5145 = −43,73 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−43,73)·0,8575 = 37,5 kN

Resposta

FAC = 37,5 kN (tração)
7.Deflexão da viga

Resposta: δP = 33,63 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 28000 N, a = 1000 mm, b = 7000 mm, L = 8000 mm
EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Deflexão sob a carga

δP = Pa²b²/(3EIL) = 28000·1000²·7000²/(3·1,7 × 10¹²·8000) = 33,63 mm

Resposta

δP = 33,63 mm
8.Deflexão da viga

Resposta: RB = 21,88 kN

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição). Para uma viga estaticamente indeterminada, retire um apoio redundante e exija que a deflexão ali seja zero (compatibilidade).

Retire o apoio

Sem o apoio a viga é um balanço. Sua extremidade livre defletiria sob a carga.

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Compatibilidade no apoio

A força do apoio RB sozinha levanta a extremidade livre em RBL³/(3EI). O apoio mantém B com deflexão zero, então as duas devem se anular. EI se cancela.

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·70/16 = 21,88 kN

Resposta

RB = 21,88 kN
9.Flambagem de pilares

Resposta: Pcr = 29,61 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em Pcr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

Imin = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 1·3000 = 3000 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/3000² = 29609 N = 29,61 kN

Resposta

Pcr = 29,61 kN
10.Flambagem de pilares

Resposta: d = 79,44 mm

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em Pcr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Carga crítica necessária

Pcr = n·P = 3·105000 = 315000 N
KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·315000·3500²/(π³·200000))^(1/4) = 79,44 mm

Resposta

d = 79,44 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 176,2, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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