Ondas e Óptica: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 4 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Molas e pêndulos

Massa em uma mola: T = 2π·√(m/k)
Pêndulo: T = 2π·√(L/g)
Frequência angular: ω = √(k/m) = 2π/T
Velocidade e aceleração máximas: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energia: E = ½·k·A²

Ondas, som e óptica

Velocidade da onda: v = fλ, T = 1/f
Corda: v = √(T/μ), μ = m/L
Nível sonoro: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Fonte puntiforme: I = P/(4πr²)
Ondas estacionárias: corda ou tubo aberto f_n = n·v/(2L); tubo fechado f_n = n·v/(4L), n ímpar
Efeito Doppler: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Índice de refração: n = c/v, λ = λ₀/n
Lei de Snell: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ângulo crítico: sin θ_c = n₂/n₁
Fibra óptica: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lentes e espelhos: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Fenda dupla: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Rede de difração: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Fenda simples: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Método

Identifique o tipo de problema: velocidade da onda, nível sonoro, onda estacionária, Doppler, refração, lente ou espelho, ou interferência.
Escreva primeiro a relação: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) ou n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Converta as unidades: nm, mm e cm para m, e verifique se os ângulos são medidos a partir da normal.
Verifique os sinais e a plausibilidade: uma imagem virtual tem dᵢ < 0, uma fonte que se aproxima soa mais aguda, um tubo fechado só tem harmônicos ímpares.

2Exercícios

1.Molas e pêndulosMédia

Uma massa de 0,4 kg presa a uma mola com k = 320 N/m é puxada 6 cm no sentido positivo e solta do repouso em t = 0. Encontre sua velocidade v em t = 1,05 s (com sinal).

m = 0,4 kgk = 320 N/mA = 6 cmt = 1,05 s

v = m/s

2.Molas e pêndulosDifícil

Uma massa de 2,6 kg presa a uma mola com k = 360 N/m é deslocada 20 cm da posição de equilíbrio e solta. Calcule sua aceleração máxima a_max.

m = 2,6 kgk = 360 N/mA = 20 cm

a_max = m/s²

3.Ondas, som e ópticaMédia

Um tubo aberto nas duas extremidades tem 1,5 m de comprimento. A velocidade do som é 343 m/s. Encontre a frequência f₂ do harmônico de ordem 2.

v = 343 m/sn = 2L = 1,5 m

f₂ = Hz

4.Ondas, som e ópticaDifícil

Luz de comprimento de onda 589 nm incide em ângulo reto sobre uma rede com 300 linhas por milímetro. Encontre o ângulo θ₁ do máximo de ordem 1.

N = 300 mm⁻¹λ = 589 nmm = 1

θ₁ = °

3Soluções

1.Molas e pêndulos

Resposta: v = 1,679 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Frequência angular

ω = √(320/0,4) = 28,28 rad/s

ω·t = 28,28·1,05 = 29,7 rad

Velocidade

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0,06·28,28·sin(29,7) = 1,679 m/s

Resposta

v = 1,679 m/s

2.Molas e pêndulos

Resposta: a_max = 27,69 m/s²

Movimento harmônico simples: uma massa m presa a uma mola de constante elástica k oscila com frequência angular ω = √(k/m) e período T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Um pêndulo simples de comprimento L tem T = 2π·√(L/g). Com amplitude A, a maior velocidade é A·ω, a maior aceleração é A·ω² e a energia é ½·k·A².

Frequência angular

ω = √(360/2,6) = 11,77 rad/s

Aceleração máxima

a_max = A·ω² = 0,2·11,77² = 27,69 m/s²

Resposta

a_max = 27,69 m/s²

3.Ondas, som e óptica

Resposta: f₂ = 228,7 Hz

Ondas estacionárias e efeito Doppler: uma corda fixa nas duas extremidades, ou um tubo aberto nas duas extremidades, comporta meios comprimentos de onda inteiros: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Um tubo fechado em uma extremidade tem um nó na extremidade fechada e um ventre na aberta: L = nλ/4 apenas com n ímpar, f_n = n·v/(4L). Quando a fonte ou o observador se movem ao longo da linha que os une, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): use os sinais superiores para movimento de aproximação. Duas ondas de frequências quase iguais produzem batimentos com frequência |f₁ − f₂|.

Comprimento de onda deste modo

λ = 2L/n = 2·1,5/2 = 1,5 m

Frequência

f = v/λ = 343/1,5 = 228,7 Hz

Resposta

f₂ = 228,7 Hz

4.Ondas, som e óptica

Resposta: θ₁ = 10,18 °

Interferência e difração: a luz de duas fendas separadas por uma distância d chega a um ponto do anteparo com uma diferença de percurso d·sin θ. Franjas claras aparecem onde d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Para um anteparo a uma distância L ≫ d, a m-ésima franja clara está em y = mλL/d e o espaçamento entre franjas é Δy = λL/d. Uma rede de difração com N linhas por milímetro tem d = 1/N e máximos nítidos em d·sin θ = mλ; como sin θ ≤ 1, a ordem mais alta é o maior inteiro m ≤ d/λ. Uma fenda simples de largura a tem franjas escuras em a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Espaçamento das linhas

d = 1/300 mm = 3,333 × 10⁻⁶ m

Equação da rede

sin θ = mλ/d = 1·589 × 10⁻⁹/(3,333 × 10⁻⁶) = 0,1767

θ = 10,18°

Resposta

θ₁ = 10,18°

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