Ondas e Óptica: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 4 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Molas e pêndulos

Massa em uma mola
T = 2π·√(m/k)
Pêndulo
T = 2π·√(L/g)
Frequência angular
ω = √(k/m) = 2π/T
Velocidade e aceleração máximas
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Energia
E = ½·k·A²

Ondas, som e óptica

Velocidade da onda
v = fλ, T = 1/f
Corda
v = √(T/μ), μ = m/L
Nível sonoro
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
Fonte puntiforme
I = P/(4πr²)
Ondas estacionárias
corda ou tubo aberto fn = n·v/(2L); tubo fechado fn = n·v/(4L), n ímpar
Efeito Doppler
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Índice de refração
n = c/v, λ = λ0/n
Lei de Snell
n1sin θ1 = n2sin θ2
Ângulo crítico
sin θc = n2/n1
Fibra óptica
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
Lentes e espelhos
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
Fenda dupla
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
Rede de difração
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
Fenda simples
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Método

  1. Identifique o tipo de problema: velocidade da onda, nível sonoro, onda estacionária, Doppler, refração, lente ou espelho, ou interferência.
  2. Escreva primeiro a relação: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) ou n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Converta as unidades: nm, mm e cm para m, e verifique se os ângulos são medidos a partir da normal.
  4. Verifique os sinais e a plausibilidade: uma imagem virtual tem dᵢ < 0, uma fonte que se aproxima soa mais aguda, um tubo fechado só tem harmônicos ímpares.

2Exercícios

1.Molas e pêndulosMédia
3,2 kgk = 160 N/mA = 8 cmx = 3 cm

Uma massa de 3,2 kg presa a uma mola com k = 160 N/m oscila sobre uma superfície sem atrito com amplitude de 8 cm. Encontre sua velocidade v quando ela está a 3 cm do equilíbrio.

m = 3,2 kgk = 160 N/mA = 8 cmx = 3 cm
v = m/s
2.Molas e pêndulosDifícil
2,1 kgk = 480 N/m

Uma massa de 2,1 kg é presa à extremidade inferior de uma mola vertical não deformada com k = 480 N/m e solta do repouso. Use g = 9,81 m/s². Encontre a maior velocidade vmax da massa.

m = 2,1 kgk = 480 N/mg = 9,81 m/s²
vmax = m/s
3.Ondas, som e ópticaMédia
L = ?n = 7

Um tubo fechado em uma extremidade deve ter o seu harmônico de ordem 7 em 800 Hz. A velocidade do som é 343 m/s. Encontre o comprimento L do tubo.

v = 343 m/sn = 7f7 = 800 Hz
L = m
4.Ondas, som e ópticaDifícil
λ = 532 nmθ3​ = ?

Luz de comprimento de onda 532 nm incide em ângulo reto sobre uma rede com 300 linhas por milímetro. Encontre o ângulo θ3 do máximo de ordem 3.

N = 300 mm⁻¹λ = 532 nmm = 3
θ3 = °

3Soluções

1.Molas e pêndulos

Resposta: v = 0,5244 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Frequência angular

ω = √(160/3,2) = 7,071 rad/s

Velocidade em x

v = ω·√(A² − x²) = 7,071·√(0,08² − 0,03²) = 0,5244 m/s

Resposta

v = 0,5244 m/s
2.Molas e pêndulos

Resposta: vmax = 0,6489 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Equilíbrio e amplitude

x₀ = m·g/k = 2,1·9,81/480 = 0,04292 m = A

Maior velocidade

A velocidade é máxima no equilíbrio.

ω = √(480/2,1) = 15,12 rad/s
vmax = A·ω = 0,04292·15,12 = 0,6489 m/s

Resposta

vmax = 0,6489 m/s
3.Ondas, som e óptica

Resposta: L = 0,7503 m

Ondas estacionárias e efeito Doppler: uma corda fixa nas duas extremidades, ou um tubo aberto nas duas extremidades, comporta meios comprimentos de onda inteiros: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Um tubo fechado em uma extremidade tem um nó na extremidade fechada e um ventre na aberta: L = nλ/4 apenas com n ímpar, fn = n·v/(4L). Quando a fonte ou o observador se movem ao longo da linha que os une, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): use os sinais superiores para movimento de aproximação. Duas ondas de frequências quase iguais produzem batimentos com frequência |f₁ − f₂|.

Comprimento de onda

λ = v/f = 343/800 = 0,4288 m

Comprimento

L = nλ/4 = 7·0,4288/4 = 0,7503 m

Resposta

L = 0,7503 m
4.Ondas, som e óptica

Resposta: θ3 = 28,61 °

Interferência e difração: a luz de duas fendas separadas por uma distância d chega a um ponto do anteparo com uma diferença de percurso d·sin θ. Franjas claras aparecem onde d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Para um anteparo a uma distância L ≫ d, a m-ésima franja clara está em y = mλL/d e o espaçamento entre franjas é Δy = λL/d. Uma rede de difração com N linhas por milímetro tem d = 1/N e máximos nítidos em d·sin θ = mλ; como sin θ ≤ 1, a ordem mais alta é o maior inteiro m ≤ d/λ. Uma fenda simples de largura a tem franjas escuras em a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Espaçamento das linhas

d = 1/300 mm = 3,333 × 10⁻⁶ m

Equação da rede

sin θ = mλ/d = 3·532 × 10⁻⁹/(3,333 × 10⁻⁶) = 0,4788
θ = 28,61°

Resposta

θ3 = 28,61°

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