Задачи для подготовки к AP Physics 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 80 km/h, тормозит с постоянным замедлением 7 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 80 km/ha = −7 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Камень без начальной скорости падает в колодец. Всплеск слышен через 1,9 s после того, как камень отпустили. Скорость звука 343 m/s; пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите глубину d колодца.

t_total = 1,9 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Законы НьютонаСредняя

Грузы массами 7 kg и 4 kg висят по обе стороны лёгкого блока без трения и связаны лёгкой нитью. Систему отпускают из состояния покоя. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 7 kgm₂ = 4 kgg = 9,81 m/s²

T = N

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 2 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 2 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 2 kgm₂ = 2 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 40° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 16 m/sθ = 40°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 26 m/s под углом 30° к горизонту с вершины обрыва высотой 10 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Под каким углом α к горизонту (ниже горизонта) он ударяется о землю?

v₀ = 26 m/sθ = 30°h = 10 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 95 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,6. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 95 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик на нити длиной 1,5 m вращают по вертикальной окружности. Примите g = 9,81 m/s². При какой наименьшей скорости v_min в верхней точке нить ещё остаётся натянутой?

r = 1,5 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 4 kg скользит 20 m по наклонной плоскости под углом 15° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,15. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 4 kgθ = 15°μ = 0,15d = 20 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Тележку массой 10 kg отпускают без начальной скорости на высоте 4,8 m на гладкой трассе, переходящей в вертикальную «мёртвую петлю» радиусом 1,5 m. Найдите скорость v тележки в верхней точке петли.

m = 10 kgh = 4,8 mR = 1,5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Пуля массой 20 g, выпущенная горизонтально, попадает в деревянный брусок массой 5 kg, подвешенный на лёгких нитях, и застревает в нём. Брусок отклоняется и поднимается на 24 cm выше начального положения. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 20 gM = 5 kgh = 24 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Пуля массой 5 g, выпущенная горизонтально, попадает в брусок массой 5 kg, подвешенный на лёгких нитях длиной 0,6 m, и застревает в нём. Нити отклоняются на наибольший угол 40° от вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 5 gM = 5 kgL = 0,6 mθ = 40°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 0,7 kg на пружине с k = 60 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 13 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 3 cm от положения равновесия.

m = 0,7 kgk = 60 N/mA = 13 cmx = 3 cm

v = m/s

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 3,3 kg на пружине с k = 220 N/m оттягивают на 17 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшую скорость v_max.

m = 3,3 kgk = 220 N/mA = 17 cm

v_max = m/s

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 35,27 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 80/3,6 = 22,22 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 22,22²/(2·7) = 35,27 m

Ответ

s = 35,27 m

2.Кинематика

Ответ: d = 16,81 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Две части времени

½·9,81·t₁² = 343·(1,9 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 651,7 = 0

Время падения

Физический смысл имеет только положительный корень.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·651,7))/(2·4,905) = 1,851 s

Глубина

d = ½·9,81·1,851² = 16,81 m

Ответ

d = 16,81 m

3.Законы Ньютона

Ответ: T = 49,94 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Ускорение

Движущая равнодействующая — это разность весов; она разгоняет полную массу.

a = (7 − 4)·9,81/(7 + 4) = 2,675 m/s²

Натяжение по лёгкому грузу

T − m₂·g = m₂·a → T = 4·(9,81 + 2,675) = 49,94 N

Ответ

T = 49,94 N

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 10,79 N

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (19,62 − 1,962)/4 = 4,415 m/s²

Натяжение из уравнения для бруска на столе

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 2·4,415 + 1,962 = 10,79 N

Ответ

T = 10,79 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 2,097 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 40° = 12,26 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 40° = 10,28 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·10,28/9,81 = 2,097 s

Ответ

t = 2,097 s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: α = 40,32 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 26·cos 30° = 22,52 m/s

v_y0 = 26·sin 30° = 13 m/s

Вертикальная скорость при ударе

Закон сохранения энергии или v² = v₀² + 2as по вертикали.

v_y = √(13² + 2·9,81·10) = 19,11 m/s

Угол падения

tan α = v_y/v_x = 19,11/22,52 → α = 40,32°

Ответ

α = 40,32°

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 23,65 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,6·9,81·95) = 23,65 m/s

Ответ

v_max = 23,65 m/s (85,13 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: v_min = 3,836 m/s

Нулевое натяжение в верхней точке

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·1,5) = 3,836 m/s

Ответ

v_min = 3,836 m/s

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 113,7 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 39,24·0,9659 = 37,9 N

F = μN = 0,15·37,9 = 5,685 N

Работа против трения

W_f = F·d = 5,685·20 = 113,7 J

Ответ

W_f = 113,7 J

10.Работа и энергия

Ответ: v = 5,943 m/s

Скорость в верхней точке

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(4,8 − 3) = 35,32 m²/s²

v = 5,943 m/s

Ответ

v = 5,943 m/s

Тележка едва проходит петлю при h = 2,5R; тогда в верхней точке N = 0.

11.Импульс и столкновения

Ответ: v = 544,7 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Отклонение после удара

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,24) = 2,17 m/s

Столкновение

m·v = (m + M)·V → v = (0,02 + 5)·2,17/0,02 = 544,7 m/s

Ответ

v = 544,7 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v = 1661 m/s

Подъём бруска

h = L·(1 − cos θ) = 0,6·(1 − cos 40°) = 0,1404 m

Скорость после удара

V = √(2·9,81·0,1404) = 1,66 m/s

Столкновение

v = (m + M)·V/m = 5,005·1,66/0,005 = 1661 m/s

Ответ

v = 1661 m/s

13.Пружины и маятники

Ответ: v = 1,171 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(60/0,7) = 9,258 rad/s

Скорость в точке x

v = ω·√(A² − x²) = 9,258·√(0,13² − 0,03²) = 1,171 m/s

Ответ

v = 1,171 m/s

14.Пружины и маятники

Ответ: v_max = 1,388 m/s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(220/3,3) = 8,165 rad/s

Наибольшая скорость

v_max = A·ω = 0,17·8,165 = 1,388 m/s

Ответ

v_max = 1,388 m/s

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-physics-1-practice