Задачи для подготовки к AP Physics 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 100 km/h, тормозит с постоянным замедлением 4 m/s² до полной остановки. Сколько длится торможение? Найдите t.

v₀ = 100 km/ha = −4 m/s²v = 0

t = s

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 15 m/s с края крыши на высоте 25 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max над землёй.

v₀ = 15 m/sh₀ = 25 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик скользит по горизонтальному полу с начальной скоростью 12 m/s и останавливается через 49 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите коэффициент трения скольжения μ.

v₀ = 12 m/sd = 49 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 3 kg на наклонной плоскости под углом 40° связан лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения на вершине плоскости, с висящим грузом массой 7,5 kg. Висящий груз движется вниз. Наклонная плоскость гладкая (без трения). Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 3 kgm₂ = 7,5 kgθ = 40°μ = 0g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности со скоростью 32 m/s, и он должен упасть на расстоянии 70 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите меньший из двух возможных углов броска θ.

v₀ = 32 m/sR = 70 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 20° к горизонту с вершины скалы высотой 45 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 19 m/sθ = 20°h = 45 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 130 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,6. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 130 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Тележку массой 2,5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 24 m на трассе без трения, и она проходит вертикальную петлю радиусом 8 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу нормальной реакции N_top трассы на тележку в верхней точке петли.

m = 2,5 kgh = 24 mR = 8 mg = 9,81 m/s²

N_top = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 2 kg скользит 17 m по наклонной плоскости под углом 25° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,15. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 2 kgθ = 25°μ = 0,15d = 17 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 2 kg отпускают без начальной скорости на высоте 3,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 1 m (μ = 0,3), а затем наезжает на пружину (k = 4000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 2 kgh = 3,5 mL = 1 mμ = 0,3k = 4000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 4,5 kg, движущаяся со скоростью 2 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 5 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₂ второй тележки после столкновения.

m₁ = 4,5 kgm₂ = 5 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

На перекрёстке автомобиль массой 1900 kg, едущий на восток со скоростью 16 m/s, сталкивается с автомобилем массой 900 kg, едущим на север со скоростью 9 m/s. Автомобили сцепляются. Найдите скорость v′ обломков сразу после столкновения.

m₁ = 1900 kgv₁ = 16 m/s (E)m₂ = 900 kgv₂ = 9 m/s (N)

v′ = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Астронавт на другой планете обнаруживает, что математический маятник длиной 1,6 m имеет период малых колебаний 4,13 s. Найдите ускорение свободного падения g на этой планете.

L = 1,6 mT = 4,13 s

g = m/s²

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 3,1 kg на пружине с k = 300 N/m оттягивают на 20 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите полную энергию E колебаний.

m = 3,1 kgk = 300 N/mA = 20 cm

E = J

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: t = 6,944 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 100/3,6 = 27,78 m/s

Время торможения

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 27,78/4 = 6,944 s

Ответ

t = 6,944 s

2.Кинематика

Ответ: h_max = 36,47 m

Подъём над крышей

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 15²/(2·9,81) = 11,47 m

Высота над землёй

h_max = 25 + 11,47 = 36,47 m

Ответ

h_max = 36,47 m

3.Законы Ньютона

Ответ: μ = 0,1498

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Замедление

a = v₀²/(2d) = 12²/(2·49) = 1,469 m/s²

Коэффициент трения

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1,469/9,81 = 0,1498

Ответ

μ = 0,1498

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 34,53 N

Силы вдоль нити

m₂·g = 73,58 N

m₁·g·sin θ = 18,92 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

Ускорение системы

a = (73,58 − 18,92 − 0)/10,5 = 5,206 m/s²

Натяжение по висящему грузу

m₂·g − T = m₂·a → T = 7,5·(9,81 − 5,206) = 34,53 N

Ответ

T = 34,53 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: θ = 21,06 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Формула дальности

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·70/32² = 0,6706

Угол

2θ = 42,11° → θ = 21,06°

Ответ

θ = 21,06°

Второе решение: 90° − θ = 68,94°.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 67,18 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 19·cos 20° = 17,85 m/s

v_y = v₀·sin θ = 19·sin 20° = 6,498 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 45 + 6,498·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (6,498 + √(42,23 + 882,9))/9,81 = 3,763 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 17,85·3,763 = 67,18 m

Ответ

x = 67,18 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 27,66 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,6·9,81·130) = 27,66 m/s

Ответ

v_max = 27,66 m/s (99,58 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: N_top = 24,53 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Скорость из закона сохранения энергии

v² = 2·9,81·(24 − 2·8) = 157 m²/s²

Силы

Направление к центру положительно.

N = m·v²/R − m·g = 2,5·157/8 − 24,53 = 24,53 N

Ответ

N_top = 24,53 N

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 45,34 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 19,62·0,9063 = 17,78 N

F = μN = 0,15·17,78 = 2,667 N

Работа против трения

W_f = F·d = 2,667·17 = 45,34 J

Ответ

W_f = 45,34 J

10.Работа и энергия

Ответ: x = 17,72 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 19,62·(3,5 − 0,3·1) = 62,78 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 62,78 → x = √(2·62,78/4000) = 0,1772 m = 17,72 cm

Ответ

x = 17,72 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 1,895 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (4,5 − 5)/(4,5 + 5)·2 = −0,1053 m/s

v′₂ = 2·4,5/(4,5 + 5)·2 = 1,895 m/s

Ответ

v′₂ = 1,895 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v′ = 11,24 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Составляющие импульса

p_x = 1900·16 = 30400 kg·m/s

p_y = 900·9 = 8100 kg·m/s

Скорость обломков

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 31461/2800 = 11,24 m/s

Ответ

v′ = 11,24 m/s

13.Пружины и маятники

Ответ: g = 3,703 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Находим g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1,6/4,13² = 3,703 m/s²

Ответ

g = 3,703 m/s²

14.Пружины и маятники

Ответ: E = 6 J

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(300/3,1) = 9,837 rad/s

Энергия

E = ½·k·A² = ½·300·0,2² = 6 J

Ответ

E = 6 J

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-physics-1-practice