Задачи для подготовки к AP Physics 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 60 km/h, тормозит с постоянным замедлением 7 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 60 km/ha = −7 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 17 m/s с края крыши на высоте 15 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 17 m/sh₀ = 15 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Санки массой 15 kg тянут по горизонтальному снегу верёвкой под углом 40° к горизонту с силой 150 N. Коэффициент трения скольжения равен 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a санок.

m = 15 kgF = 150 Nθ = 40°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Бруску сообщают толчок, и он начинает скользить вверх по наклонной плоскости под углом 20° со скоростью 8,5 m/s. Коэффициент трения скольжения равен 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Какое расстояние d вдоль плоскости он проскользит до остановки?

v₀ = 8,5 m/sθ = 20°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

d = m

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 65° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите наибольшую высоту H, которой достигает мяч.

v₀ = 34 m/sθ = 65°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают с уровня земли со скоростью 30 m/s под углом 70° к горизонту. Он падает на плоскую крышу здания высотой 13 m, уже опускаясь. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите горизонтальное расстояние x от точки броска до места падения.

v₀ = 30 m/sθ = 70°h_roof = 13 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

В аттракционе «ротор» посетители стоят у стенки вертикального цилиндра радиусом 1,8 m. Когда он вращается достаточно быстро, пол опускается, и их удерживает трение. Коэффициент трения покоя равен 0,8. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наименьшую частоту вращения n в оборотах в минуту.

r = 1,8 mμ_s = 0,8g = 9,81 m/s²

n = rpm

8.Движение по окружностиСложная

Тележку массой 1,5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 8,8 m на трассе без трения, и она проходит вертикальную петлю радиусом 2 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу нормальной реакции N_bottom трассы на тележку в нижней точке петли.

m = 1,5 kgh = 8,8 mR = 2 mg = 9,81 m/s²

N_bottom = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 2 kg скользит 16 m по наклонной плоскости под углом 45° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,4. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 2 kgθ = 45°μ = 0,4d = 16 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 1,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 1 m (μ = 0,3), а затем наезжает на пружину (k = 4000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 5 kgh = 1,5 mL = 1 mμ = 0,3k = 4000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 1 kg, движущаяся со скоростью 8 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 4 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₂ второй тележки после столкновения.

m₁ = 1 kgm₂ = 4 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Автомобиль массой 800 kg врезается в припаркованный автомобиль массой 1600 kg. Сцепившиеся автомобили скользят 22 m до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,5. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v₁ первого автомобиля непосредственно перед столкновением.

m₁ = 800 kgm₂ = 1600 kgd = 22 mμ = 0,5g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Длина математического маятника 0,2 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его период T при малых колебаниях.

L = 0,2 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 2 kg на пружине с k = 340 N/m оттягивают на 18 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите полную энергию E колебаний.

m = 2 kgk = 340 N/mA = 18 cm

E = J

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 19,84 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 60/3,6 = 16,67 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 16,67²/(2·7) = 19,84 m

Ответ

s = 19,84 m

2.Кинематика

Ответ: t = 4,195 s

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−15 = 17·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 17·t − 15 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (17 + √(17² + 2·9,81·15))/9,81 = 4,195 s

Ответ

t = 4,195 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 7,322 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сила нормальной реакции

N = m·g − F·sin θ = 147,2 − 150·sin 40° = 50,73 N

Горизонтальные силы

m·a = F·cos θ − μ·N = 114,9 − 5,073

a = 109,8/15 = 7,322 m/s²

Ответ

a = 7,322 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: d = 8,446 m

Замедление

Обе силы направлены вниз по склону; масса сокращается.

a = 9,81·(sin 20° + 0,1·cos 20°) = 4,277 m/s²

Путь

d = v₀²/(2a) = 8,5²/(2·4,277) = 8,446 m

Ответ

d = 8,446 m

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 48,4 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 65° = 14,37 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 65° = 30,81 m/s

Высшая точка

В верхней точке вертикальная скорость равна нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 30,81²/(2·9,81) = 48,4 m

Ответ

H = 48,4 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 53,78 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 10,26 m/s, v_y = 28,19 m/s

Время до падения на крышу

Больший корень: мяч опускается.

13 = 28,19·t − 4,905·t²

t = (28,19 + √(28,19² − 2·9,81·13))/9,81 = 5,242 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 10,26·5,242 = 53,78 m

Ответ

x = 53,78 m

7.Движение по окружности

Ответ: n = 24,92 rpm

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Силы, действующие на посетителя

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Угловая скорость

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,8·1,8)) = 2,61 rad/s

Частота вращения

n = ω·60/(2π) = 24,92 rpm

Ответ

n = 24,92 rpm

8.Движение по окружности

Ответ: N_bottom = 144,2 N

Скорость из закона сохранения энергии

v² = 2·9,81·8,8 = 172,7 m²/s²

Силы

Направление к центру положительно.

N = m·v²/R + m·g = 1,5·172,7/2 + 14,71 = 144,2 N

Ответ

N_bottom = 144,2 N

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 88,79 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 19,62·0,7071 = 13,87 N

F = μN = 0,4·13,87 = 5,549 N

Работа против трения

W_f = F·d = 5,549·16 = 88,79 J

Ответ

W_f = 88,79 J

10.Работа и энергия

Ответ: x = 17,16 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 49,05·(1,5 − 0,3·1) = 58,86 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 58,86 → x = √(2·58,86/4000) = 0,1716 m = 17,16 cm

Ответ

x = 17,16 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 3,2 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (1 − 4)/(1 + 4)·8 = −4,8 m/s

v′₂ = 2·1/(1 + 4)·8 = 3,2 m/s

Ответ

v′₂ = 3,2 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v₁ = 44,07 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Скорость после столкновения

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,5·9,81·22) = 14,69 m/s

Импульс при столкновении

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2400·14,69/800 = 44,07 m/s

Ответ

v₁ = 44,07 m/s

(158,7 km/h)

13.Пружины и маятники

Ответ: T = 0,8971 s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Период маятника

T = 2π·√(0,2/9,81) = 0,8971 s

Ответ

T = 0,8971 s

14.Пружины и маятники

Ответ: E = 5,508 J

Угловая частота

ω = √(340/2) = 13,04 rad/s

Энергия

E = ½·k·A² = ½·340·0,18² = 5,508 J

Ответ

E = 5,508 J

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-physics-1-practice