Задачи для подготовки к AP Physics 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Водитель, едущий со скоростью 50 km/h, видит препятствие. Время её реакции 1,1 s, после чего автомобиль тормозит с постоянным замедлением 4,5 m/s². Найдите полный остановочный путь d с момента, когда она увидела препятствие.

v₀ = 50 km/ht_r = 1,1 sa = −4,5 m/s²

d = m

2.КинематикаСложная

Модель ракеты запускают вертикально вверх из состояния покоя. Двигатель сообщает ей постоянное ускорение 38 m/s², направленное вверх, в течение 2 s, после чего двигатель выключается и ракета движется свободно. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max, которой достигает ракета.

a = 38 m/s²t₁ = 2 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик массой 5 kg толкают вверх по наклонной плоскости под углом 25° к горизонту с постоянной скоростью силой, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите толкающую силу F.

m = 5 kgθ = 25°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

F = N

4.Законы НьютонаСложная

Два бруска на горизонтальном полу связаны лёгкой горизонтальной нитью. Горизонтальная сила 140 N тянет передний брусок массой 10 kg; брусок массой 5 kg тащится сзади. Коэффициент трения скольжения для обоих брусков равен 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a брусков.

m₁ = 5 kgm₂ = 10 kgF = 140 Nμ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности под углом 55° к горизонту, и он падает на расстоянии 105 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите начальную скорость v₀.

θ = 55°R = 105 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 25° к горизонту с вершины скалы высотой 30 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 31 m/sθ = 25°h = 30 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Дорожный инженер хочет, чтобы автомобили проходили поворот радиусом 280 m со скоростью 80 km/h, не полагаясь на трение. Примите g = 9,81 m/s². Найдите угол виража θ.

r = 280 mv = 80 km/hg = 9,81 m/s²

θ = °

8.Движение по окружностиСложная

Небольшую тележку отпускают без начальной скорости на трассе без трения, и она въезжает в вертикальную петлю радиусом 1,5 m. С какой наименьшей высоты h_min над нижней точкой петли она должна стартовать, чтобы удержаться на трассе в верхней точке петли?

R = 1,5 mv₀ = 0

h_min = m

9.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 35° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,25. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 2 m вдоль плоскости.

θ = 35°μ = 0,25d = 2 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 1 kg отпускают без начальной скорости на высоте 1 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 4,5 m (μ = 0,1), а затем наезжает на пружину (k = 2500 N/m) на гладкой поверхности. Найдите скорость v бруска, когда он достигает пружины.

m = 1 kgh = 1 mL = 4,5 mμ = 0,1k = 2500 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 1 kg, движущаяся со скоростью 2 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 3,5 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₂ второй тележки после столкновения.

m₁ = 1 kgm₂ = 3,5 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Пуля массой 5 g, выпущенная горизонтально, попадает в брусок массой 4 kg, подвешенный на лёгких нитях длиной 0,5 m, и застревает в нём. Нити отклоняются на наибольший угол 25° от вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 5 gM = 4 kgL = 0,5 mθ = 25°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 0,8 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.

T = 0,8 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Пружины и маятникиСложная

Груз на пружине с k = 220 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 6 cm. Найдите энергию U, запасённую в пружине, когда груз находится на расстоянии 1 cm от положения равновесия.

k = 220 N/mA = 6 cmx = 1 cm

U = J

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 36,71 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Единицы

v₀ = 50/3,6 = 13,89 m/s

Путь за время реакции

d₁ = v₀·t_r = 13,89·1,1 = 15,28 m

Тормозной путь

d₂ = v₀²/(2a) = 13,89²/(2·4,5) = 21,43 m

Итого

d = 15,28 + 21,43 = 36,71 m

Ответ

d = 36,71 m

2.Кинематика

Ответ: h_max = 370,4 m

Активный участок

v₁ = 38·2 = 76 m/s

h₁ = ½·38·2² = 76 m

Свободный полёт вверх

В наивысшей точке скорость равна нулю.

Δh = v₁²/(2g) = 76²/(2·9,81) = 294,4 m

h_max = 76 + 294,4 = 370,4 m

Ответ

h_max = 370,4 m

3.Законы Ньютона

Ответ: F = 31,84 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Силы вдоль плоскости

Постоянная скорость: силы уравновешены.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Толкающая сила

F = 20,73 + 11,11 = 31,84 N

Ответ

F = 31,84 N

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 8,352 m/s²

Вся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (140 − 14,71)/15 = 8,352 m/s²

Ответ

a = 8,352 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: v₀ = 33,11 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Выражаем v₀ из формулы дальности

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·105/sin 110°) = 33,11 m/s

Ответ

v₀ = 33,11 m/s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 116,5 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 31·cos 25° = 28,1 m/s

v_y = v₀·sin θ = 31·sin 25° = 13,1 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 30 + 13,1·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (13,1 + √(171,6 + 588,6))/9,81 = 4,146 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 28,1·4,146 = 116,5 m

Ответ

x = 116,5 m

7.Движение по окружности

Ответ: θ = 10,19 °

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Единицы

v = 80/3,6 = 22,22 m/s

Угол виража

tan θ = v²/(r·g) = 22,22²/(280·9,81) = 0,1798

θ = 10,19°

Ответ

θ = 10,19°

8.Движение по окружности

Ответ: h_min = 3,75 m

Условие в верхней точке

m·g = m·v²/R → v² = g·R

Закон сохранения энергии

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2,5·R = 2,5·1,5 = 3,75 m

Ответ

h_min = 3,75 m

9.Работа и энергия

Ответ: v = 3,804 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·2·(0,5736 − 0,25·0,8192)) = 3,804 m/s

Ответ

v = 3,804 m/s

10.Работа и энергия

Ответ: v = 3,285 m/s

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 9,81·(1 − 0,1·4,5) = 5,396 J

Скорость у пружины

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·0,55) = 3,285 m/s

Ответ

v = 3,285 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 0,8889 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (1 − 3,5)/(1 + 3,5)·2 = −1,111 m/s

v′₂ = 2·1/(1 + 3,5)·2 = 0,8889 m/s

Ответ

v′₂ = 0,8889 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v = 767,9 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Подъём бруска

h = L·(1 − cos θ) = 0,5·(1 − cos 25°) = 0,04685 m

Скорость после удара

V = √(2·9,81·0,04685) = 0,9587 m/s

Столкновение

v = (m + M)·V/m = 4,005·0,9587/0,005 = 767,9 m/s

Ответ

v = 767,9 m/s

13.Пружины и маятники

Ответ: L = 0,159 m

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Выразите длину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(0,8/2π)² = 0,159 m

Ответ

L = 0,159 m

14.Пружины и маятники

Ответ: U = 0,011 J

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Полная энергия

E = ½·k·A² = ½·220·0,06² = 0,396 J

Энергия пружины в точке x

U = ½·k·x² = ½·220·0,01² = 0,011 J

Ответ

U = 0,011 J

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-physics-1-practice