Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 25, 56, 56, 18, 39, 17, 20.

n = 7

s =

2.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 60 и стандартным отклонением 15. Найдите z-оценку z для результата 30.

μ = 60σ = 15x = 30

z =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,15, 0,35, 0,1, 0,25

σ =

4.ВероятностьСложная

Испытывают 5 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,4. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 5p = 0,4

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,2661. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,2661

z =

6.Нормальное распределениеСложная

Пусть сроки доставки распределены нормально со средним 32 min и стандартным отклонением 6 min. Найдите значение x, ниже которого лежат 80 % значений (80-й процентиль).

μ = 32σ = 6P = 80%

x = min

7.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 12 элементов имеет среднее 18,5 и стандартное отклонение s = 15,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 99 % доверительного интервала для среднего.

n = 12x̄ = 18,5s = 15,599%t(11) = 3,106

нижняя граница =

8.Доверительные интервалыСложная

Диаметры 25 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 8 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — нижняя граница σ. При df = 24 2,5 % распределения χ² лежит ниже 12,401 и 2,5 % — выше 39,364.

n = 25s = 8 µmχ² = 12,401, 39,364

σ = µm

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Две производственные линии изготавливают одну и ту же деталь. Линия 1: выборка из 80 деталей имеет среднюю длину 97 mm, известное стандартное отклонение линии 9 mm. Линия 2: выборка из 60 деталей имеет среднее 100,1 mm, известное стандартное отклонение 17 mm. Найдите статистику критерия z для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (линия 1 минус линия 2).

n₁ = 80x̄₁ = 97 mmσ₁ = 9 mmn₂ = 60x̄₂ = 100,1 mmσ₂ = 17 mm

z =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

В исследовании выздоравливают 54 из 120 пациентов, получавших лечение A, и 138 из 250 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 54n₁ = 120x₂ = 138n₂ = 250

z =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5

r² =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 60?

n = 6ŷ = 60

x =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 17,36

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 231/7 = 33

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−8)² + 23² + 23² + (−15)² + 6² + (−16)² + (−13)² = 1808

Стандартное отклонение

s = √(1808/6) = 17,36

Ответ

s = 17,36

2.Описательная статистика

Ответ: z = −2

Стандартизуйте

z = (30 − 60)/15 = −2

Ответ

z = −2

3.Вероятность

Ответ: σ = 1,352

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,15 + 1·0,15 + 2·0,35 + 3·0,1 + 4·0,25 = 2,15

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,15 + 1·0,15 + 4·0,35 + 9·0,1 + 16·0,25 = 6,45

Дисперсия

Var(X) = 6,45 − 2,15² = 1,827

σ = √1,827 = 1,352

Ответ

σ = 1,352

4.Вероятность

Ответ: P = 0,337

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,6⁵ = 0,07776

P(X = 1) = 5·0,4·0,6⁴ = 0,2592

Сложите

P = 0,07776 + 0,2592 = 0,337

Ответ

P = 0,337

5.Нормальное распределение

Ответ: z = 0,34

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,2661)/2 = 0,6331

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,6331 внутри таблицы и считайте z.

z = 0,34

Ответ

z = 0,34

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 37,05 min

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

Обратно к x

x = 32 + 0,8416·6 = 37,05 min

Ответ

x = 37,05 min

7.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 4,602

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 11, t = 3,106

Предельная ошибка

E = 3,106·15,5/√12 = 13,9

Интервал

18,5 ± 13,9 → [4,602, 32,4]

Ответ

нижняя граница = 4,602

8.Доверительные интервалы

Ответ: σ = 6,247 µm

Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.

Сумма квадратов

(n − 1)s² = 24·8² = 1536

Границы для σ²

1536/39,364 = 39,02

1536/12,401 = 123,9

Граница для σ

σ = √39,02 = 6,247 µm

Ответ

σ = 6,247 µm

95 % интервал для σ: [6,247, 11,13] µm.

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = −1,284

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартная ошибка разности

SE = √(9²/80 + 17²/60) = √5,829 = 2,414

Статистика критерия

z = (97 − 100,1)/2,414 = −1,284

Ответ

z = −1,284

|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = −1,838

Выборочные доли

p̂₁ = 54/120 = 0,45

p̂₂ = 138/250 = 0,552

p̂ = 192/370 = 0,5189

Стандартная ошибка при H₀

SE = √(0,5189·0,4811·(1/120 + 1/250)) = 0,05549

Статистика критерия

z = (0,45 − 0,552)/0,05549 = −1,838

Ответ

z = −1,838

|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9334

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 357/5 = 71,4

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 154

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 635,2

Коэффициент детерминации

r² = 154²/(40·635,2) = 0,9334

Ответ

r² = 0,9334

Прямая объясняет около 93,34% вариации y.

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 3,535

Средние

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 402/6 = 67

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 127

Линия регрессии

b = 127/17,5 = 7,257

a = 67 − 7,257·4,5 = 34,34

ŷ = 34,34 + 7,257·x

Найдите x

x = (60 − 34,34)/7,257 = 3,535

Ответ

x = 3,535

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1