Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (x² + 4x − 7)/(3x² + 2x + 1).

f(x) = (x² + 4x − 7)/(3x² + 2x + 1)x → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 (1 − cos 4x)/(2x²), где x в радианах.

f(x) = (1 − cos 4x)/(2x²)x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = x·sin(2x), x в радианах. Найдите f′(2).

f(x) = x·sin(2x)x = 2 rad

f′(2) =

4.ПроизводныеСложная

Касательная к f(x) = x² + x − 6 в точке x = −2 пересекает ось y в точке y = b. Найдите b.

f(x) = x² + x − 6x = −2

b =

5.ОптимизацияСредняя

Открытая коробка (без крышки) с квадратным дном должна вмещать 62500 cm³. Израсходуйте как можно меньше материала, то есть сделайте наименьшей площадь дна плюс четырёх стенок. Найдите минимальную площадь поверхности S.

V = 62500 cm³

S = cm²

6.ОптимизацияСложная

Компания продаёт q единиц в неделю. Цена, по которой их можно продать, p = 110 − 0,25q евро за единицу, а затраты C(q) = 1000 + 40q евро. Найдите цену p, максимизирующую прибыль.

p = 110 − 0,25qC = 1000 + 40q

p = €

7.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₀^π/3 x·cos x dx (x в радианах).

∫₀^π/3 x·cos x dx

I =

8.ИнтегралыСложная

Область между прямой y = x и параболой y = 0,5x² вращается вокруг оси x. Найдите объём V полученного тела.

y = xy = 0,5x²

V =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = 0,3333

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Разделите на старшую степень

(1 + 4/x + (−7)/x²)/(3 + 2/x + 1/x²)

Пусть x → ∞

L = 1/3 = 0,3333

Ответ

L = 0,3333

При равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов.

2.Пределы

Ответ: L = 4

Первое применение

4·sin 4x/(4x) → 0/0

Второе применение

16·cos 4x/4

Подставьте x = 0

L = 16/4 = 4

Ответ

L = 4

3.Производные

Ответ: f′(2) = −3,371

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правила произведения и цепное

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

Подставьте

f′(2) = −0,7568 + 4·(−0,6536) = −3,371

Ответ

f′(2) = −3,371

4.Производные

Ответ: b = −10

Точка и наклон

f(−2) = −4

f′(x) = 2x + 1 → f′(−2) = −3

Касательная при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −4 − (−3)·(−2) = −10

Ответ

b = −10

5.Оптимизация

Ответ: S = 7500 cm²

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция x

S(x) = x² + 250000/x

Приравняйте производную к нулю

S″(x) = 2 + 500000/x³ > 0, поэтому это минимум.

x³ = 125000 → x = 50 cm

Высота и площадь

h = 62500/50² = 25 cm

S = 50² + 250000/50 = 7500 cm²

Ответ

S = 7500 cm²

Оптимальная открытая коробка вдвое ниже своей ширины.

6.Оптимизация

Ответ: p = 75 €

Функция прибыли

P(q) = (110 − 0,25q)·q − (1000 + 40q) = −0,25q² + 70q − 1000

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −0,5 < 0, поэтому это максимум.

q = 70/0,5 = 140

Цена и прибыль

p = 110 − 0,25·140 = €75

P = 70·140 − 0,25·140² − 1000 = €3900

Ответ

p = €75

7.Интегралы

Ответ: I = 0,4069

Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.

Выберите u и dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Первообразная

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Пределы

(π/3·sin π/3 + cos π/3) − (0 + 1) = 0,4069

Ответ

I = 0,4069

8.Интегралы

Ответ: V = 3,351

Объёмы тел вращения: вращение области под y = f(x) от x = a до x = b вокруг оси x даёт тело, сечение которого при x — круг радиуса f(x). Суммирование кругов даёт V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Когда область лежит между внешней кривой R(x) и внутренней кривой r(x), каждый слой — кольцо (шайба): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Возводите радиусы в квадрат до вычитания.

Точки пересечения

1x = 0,5x² → x = 0, x = 2

Метод колец (шайб)

V = π∫₀² ((1x)² − (0,5x²)²) dx

Интегрируйте

V = π(1·2³/3 − 0,25·2⁵/5) = π·1,067 = 3,351

Ответ

V = 3,351

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1