Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (√(9x² + 6x) − 3x).

f(x) = √(9x² + 6x) − 3xx → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 ln(1 + 3x)/sin(2x), где x в радианах.

f(x) = ln(1 + 3x)/sin(2x)x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = ln(2x² + 1). Найдите f′(1).

f(x) = ln(2x² + 1)x = 1

f′(1) =

4.ПроизводныеСложная

Пусть f(x) = x³ − 7,5x² + 18x − 2. Найдите x-координату x локального максимума.

f(x) = x³ − 7,5x² + 18x − 2

x =

5.ОптимизацияСредняя

Закрытая цилиндрическая банка (с крышкой и дном) должна вмещать 250 cm³. Расход металла пропорционален полной площади поверхности. Найдите наименьшую возможную площадь поверхности A.

V = 250 cm³

A = cm²

6.ОптимизацияСложная

Компания продаёт q единиц в неделю. Цена, по которой их можно продать, p = 130 − 0,2q евро за единицу, а затраты C(q) = 1000 + 85q евро. Найдите максимальную недельную прибыль P.

p = 130 − 0,2qC = 1000 + 85q

P = €

7.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₀² e^2x dx.

f(x) = e^2x[0, 2]

I =

8.ИнтегралыСложная

Вычислите I = ∫₀^0,5 x²·eˣ dx.

∫₀^0,5 x²eˣ dx

I =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = 1

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Умножьте на сопряжённое

f(x) = 6x/(√(9x² + 6x) + 3x)

Разделите на x

f(x) = 6/(√(9 + 6/x) + 3)

Пусть x → ∞

L = 6/(3 + 3) = 1

Ответ

L = 1

2.Пределы

Ответ: L = 1,5

Правило Лопиталя

L = lim_x→0 [3/(1 + 3x)]/[2·cos 2x]

Подставьте x = 0

L = 3/2 = 1,5

Ответ

L = 1,5

3.Производные

Ответ: f′(1) = 1,333

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Цепное правило для логарифма

f′(x) = 4x/(2x² + 1)

Подставьте

f′(1) = 4/3 = 1,333

Ответ

f′(1) = 1,333

4.Производные

Ответ: x = 2

Производная

f′(x) = 3x² − 15x + 18 = 3·(x² − 5x + 6)

Решите f′(x) = 0

x = 2 или x = 3

Что есть что

f″(x) = 6x − 15: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(2) = −3, f″(3) = 3

x = 2

Ответ

x = 2

5.Оптимизация

Ответ: A = 219,7 cm²

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция r

h = 250/(πr²)

A(r) = 2πr² + 500/r

Приравняйте производную к нулю

A″(r) = 4π + 1000/r³ > 0, поэтому это минимум.

4πr − 500/r² = 0 → r = ∛(250/(2π)) = 3,414 cm

Высота и площадь

h = 250/(π·3,414²) = 2r = 6,828 cm

A = 2π·3,414² + 500/3,414 = 219,7 cm²

Ответ

A = 219,7 cm²

Самая экономичная закрытая банка имеет высоту, равную диаметру: h = 2r.

6.Оптимизация

Ответ: P = 1531 €

Функция прибыли

P(q) = (130 − 0,2q)·q − (1000 + 85q) = −0,2q² + 45q − 1000

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −0,4 < 0, поэтому это максимум.

q = 45/0,4 = 112,5

Цена и прибыль

p = 130 − 0,2·112,5 = €107,5

P = 45·112,5 − 0,2·112,5² − 1000 = €1531

Ответ

P = €1531

7.Интегралы

Ответ: I = 26,8

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Первообразная

F(x) = e^2x/2

Подставьте пределы

I = (e⁴ − 1)/2 = (54,6 − 1)/2 = 26,8

Ответ

I = 26,8

8.Интегралы

Ответ: I = 0,0609

Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.

Первый шаг

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Второй шаг

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Пределы

1,649·(1,25) − 1·2 = 0,0609

Ответ

I = 0,0609

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1