Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (√(x² + 9x) − x).

f(x) = √(x² + 9x) − xx → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 ln(1 + x)/sin(4x), где x в радианах.

f(x) = ln(1 + x)/sin(4x)x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = x²·e^2x. Найдите f′(0,5).

f(x) = x²·e^2xx = 0,5

f′(0.5) =

4.ПроизводныеСложная

Касательная к f(x) = 0,5x² − 4x − 2 в точке x = 2 пересекает ось y в точке y = b. Найдите b.

f(x) = 0,5x² − 4x − 2x = 2

b =

5.ОптимизацияСредняя

Прямоугольный участок площадью 200 m² огорожен со всех четырёх сторон. Сторона вдоль улицы длиной x стоит €25 за метр, остальные три стороны — €5 за метр. Найдите минимальную общую стоимость C.

A = 200 m²€25/m€5/m

C = €

6.ОптимизацияСложная

Компания продаёт q единиц в неделю. Цена, по которой их можно продать, p = 190 − 0,25q евро за единицу, а затраты C(q) = 5900 + 50q евро. Найдите максимальную недельную прибыль P.

p = 190 − 0,25qC = 5900 + 50q

P = €

7.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₀¹ e^x dx.

f(x) = e^x[0, 1]

I =

8.ИнтегралыСложная

Вычислите I = ∫₀^0,5 x²·eˣ dx.

∫₀^0,5 x²eˣ dx

I =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = 4,5

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Умножьте на сопряжённое

f(x) = 9x/(√(x² + 9x) + x)

Разделите на x

f(x) = 9/(√(1 + 9/x) + 1)

Пусть x → ∞

L = 9/(1 + 1) = 4,5

Ответ

L = 4,5

2.Пределы

Ответ: L = 0,25

Правило Лопиталя

L = lim_x→0 [1/(1 + x)]/[4·cos 4x]

Подставьте x = 0

L = 1/4 = 0,25

Ответ

L = 0,25

3.Производные

Ответ: f′(0.5) = 4,077

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правило произведения

f′(x) = u′v + uv′ = e^2x·(2x + 2·x²)

Подставьте

f′(0,5) = 2,718·(1 + 0,5) = 4,077

Ответ

f′(0,5) = 4,077

4.Производные

Ответ: b = −4

Точка и наклон

f(2) = −8

f′(x) = x − 4 → f′(2) = −2

Касательная при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −8 − (−2)·2 = −4

Ответ

b = −4

5.Оптимизация

Ответ: C = 489,9 €

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Стоимость как функция x

C(x) = 30x + 2000/x

Приравняйте производную к нулю

C″(x) = 4000/x³ > 0, поэтому это минимум.

x = √(2000/30) = 8,165 m

y = 200/8,165 = 24,49 m

Минимальная стоимость

C = 30·8,165 + 2000/8,165 = €489,9

Ответ

C = €489,9

6.Оптимизация

Ответ: P = 13700 €

Функция прибыли

P(q) = (190 − 0,25q)·q − (5900 + 50q) = −0,25q² + 140q − 5900

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −0,5 < 0, поэтому это максимум.

q = 140/0,5 = 280

Цена и прибыль

p = 190 − 0,25·280 = €120

P = 140·280 − 0,25·280² − 5900 = €13700

Ответ

P = €13700

7.Интегралы

Ответ: I = 1,718

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Первообразная

F(x) = e^x/1

Подставьте пределы

I = (e¹ − 1)/1 = (2,718 − 1)/1 = 1,718

Ответ

I = 1,718

8.Интегралы

Ответ: I = 0,0609

Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.

Первый шаг

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Второй шаг

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Пределы

1,649·(1,25) − 1·2 = 0,0609

Ответ

I = 0,0609

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1