Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (6x³ + 7)/(4x³ + 5x + 5).

f(x) = (6x³ + 7)/(4x³ + 5x + 5)x → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 ln(1 + 2x)/sin(x), где x в радианах.

f(x) = ln(1 + 2x)/sin(x)x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = x²·e^−x. Найдите f′(1).

f(x) = x²·e^−xx = 1

f′(1) =

4.ПроизводныеСложная

Пусть f(x) = x³ − 1,5x² − 6x + 1. Найдите x-координату x локального минимума.

f(x) = x³ − 1,5x² − 6x + 1

x =

5.ОптимизацияСредняя

Прямоугольный участок площадью 450 m² огорожен со всех четырёх сторон. Сторона вдоль улицы длиной x стоит €20 за метр, остальные три стороны — €10 за метр. Найдите минимальную общую стоимость C.

A = 450 m²€20/m€10/m

C = €

6.ОптимизацияСложная

Небольшая фирма продаёт продукцию по фиксированной рыночной цене €35 за единицу. Производство q единиц стоит C(q) = 3600 + 4q + 0,02q² евро. Найдите максимальную прибыль P.

p = €35C = 3600 + 4q + 0,02q²

P = €

7.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₀¹ e^x dx.

f(x) = e^x[0, 1]

I =

8.ИнтегралыСложная

Найдите площадь A области между параболой y = 9 − x² и осью x.

y = 9 − x²

A =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = 1,5

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Разделите на старшую степень

(6 + 7/x³)/(4 + 5/x² + 5/x³)

Пусть x → ∞

L = 6/4 = 1,5

Ответ

L = 1,5

При равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов.

2.Пределы

Ответ: L = 2

Правило Лопиталя

L = lim_x→0 [2/(1 + 2x)]/[cos x]

Подставьте x = 0

L = 2/1 = 2

Ответ

L = 2

3.Производные

Ответ: f′(1) = 0,3679

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правило произведения

f′(x) = u′v + uv′ = e^−x·(2x + (−1)·x²)

Подставьте

f′(1) = 0,3679·(2 + (−1)) = 0,3679

Ответ

f′(1) = 0,3679

4.Производные

Ответ: x = 2

Производная

f′(x) = 3x² − 3x − 6 = 3·(x² − x − 2)

Решите f′(x) = 0

x = −1 или x = 2

Что есть что

f″(x) = 6x − 3: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(−1) = −9, f″(2) = 9

x = 2

Ответ

x = 2

5.Оптимизация

Ответ: C = 1039 €

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Стоимость как функция x

C(x) = 30x + 9000/x

Приравняйте производную к нулю

C″(x) = 18000/x³ > 0, поэтому это минимум.

x = √(9000/30) = 17,32 m

y = 450/17,32 = 25,98 m

Минимальная стоимость

C = 30·17,32 + 9000/17,32 = €1039

Ответ

C = €1039

6.Оптимизация

Ответ: P = 8413 €

Функция прибыли

P(q) = 35q − (3600 + 4q + 0,02q²) = −0,02q² + 31q − 3600

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −0,04 < 0, поэтому это максимум.

31 − 0,04q = 0 → q = 775

Максимальная прибыль

P = 31·775 − 0,02·775² − 3600 = €8413

Ответ

P = €8413

7.Интегралы

Ответ: I = 1,718

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Первообразная

F(x) = e^x/1

Подставьте пределы

I = (e¹ − 1)/1 = (2,718 − 1)/1 = 1,718

Ответ

I = 1,718

8.Интегралы

Ответ: A = 36

Нули

9 − x² = 0 → x = ±3

Интегрируйте

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

Ответ

A = 36

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1