Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (√(x² − 7x) − x).

f(x) = √(x² − 7x) − xx → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 ln(1 + 2x)/sin(4x), где x в радианах.

f(x) = ln(1 + 2x)/sin(4x)x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = (2x + 5)⁵. Найдите f′(−1).

f(x) = (2x + 5)⁵x = −1

f′(−1) =

4.ПроизводныеСложная

Касательная к f(x) = 2x² + 4x + 1 в точке x = 2 пересекает ось y в точке y = b. Найдите b.

f(x) = 2x² + 4x + 1x = 2

b =

5.ОптимизацияСредняя

Закрытая цилиндрическая банка (с крышкой и дном) должна вмещать 400 cm³. Расход металла пропорционален полной площади поверхности. Найдите радиус r, при котором расход материала наименьший.

V = 400 cm³

r = cm

6.ОптимизацияСложная

Театр продаёт 650 билетов на спектакль по €10 за билет. Маркетинговое исследование показывает, что каждое повышение цены на €1 означает на 25 проданных билетов меньше (а каждое снижение на €1 — на 25 больше). Найдите максимальную выручку R за спектакль.

650 × €1025 / €1

R = €

7.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₀^π/3 x·sin x dx (x в радианах).

∫₀^π/3 x·sin x dx

I =

8.ИнтегралыСложная

Найдите площадь A области, ограниченной y = x² и y = 4x.

y = x²y = 4x

A =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = −3,5

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Умножьте на сопряжённое

f(x) = −7x/(√(x² − 7x) + x)

Разделите на x

f(x) = −7/(√(1 + (−7)/x) + 1)

Пусть x → ∞

L = −7/(1 + 1) = −3,5

Ответ

L = −3,5

2.Пределы

Ответ: L = 0,5

Правило Лопиталя

L = lim_x→0 [2/(1 + 2x)]/[4·cos 4x]

Подставьте x = 0

L = 2/4 = 0,5

Ответ

L = 0,5

3.Производные

Ответ: f′(−1) = 810

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Цепное правило

f′(x) = 5·(2x + 5)⁴·2

Подставьте

f′(−1) = 5·3⁴·2 = 810

Ответ

f′(−1) = 810

4.Производные

Ответ: b = −7

Точка и наклон

f(2) = 17

f′(x) = 4x + 4 → f′(2) = 12

Касательная при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 17 − 12·2 = −7

Ответ

b = −7

5.Оптимизация

Ответ: r = 3,993 cm

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция r

h = 400/(πr²)

A(r) = 2πr² + 800/r

Приравняйте производную к нулю

A″(r) = 4π + 1600/r³ > 0, поэтому это минимум.

4πr − 800/r² = 0 → r = ∛(400/(2π)) = 3,993 cm

Высота и площадь

h = 400/(π·3,993²) = 2r = 7,986 cm

A = 2π·3,993² + 800/3,993 = 300,5 cm²

Ответ

r = 3,993 cm

Самая экономичная закрытая банка имеет высоту, равную диаметру: h = 2r.

6.Оптимизация

Ответ: R = 8100 €

Выручка как функция цены

n(p) = 900 − 25p

R(p) = 900p − 25p²

Приравняйте производную к нулю

R″(p) = −50 < 0, поэтому это максимум.

p = 900/50 = €18

Максимальная выручка

n = 900 − 25·18 = 450

R = 18·450 = €8100

Ответ

R = €8100

7.Интегралы

Ответ: I = 0,3424

Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.

Выберите u и dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

Первообразная

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

Пределы

(−π/3·cos π/3 + sin π/3) − (0 + 0) = 0,3424

Ответ

I = 0,3424

8.Интегралы

Ответ: A = 10,67

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Точки пересечения

x² = 4x → x = 0, x = 4

Интегрируйте верхнюю минус нижнюю

A = [2x² − 0,3333x³]₀⁴ = 10,67

Ответ

A = 10,67

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1