Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (√(4x² + 6x) − 2x).

f(x) = √(4x² + 6x) − 2xx → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 (e^1,5x − 1 − 1,5x)/x².

f(x) = (e^1,5x − 1 − 1,5x)/x²x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = (2x − 1)³. Найдите f′(2).

f(x) = (2x − 1)³x = 2

f′(2) =

4.ПроизводныеСложная

Касательная к f(x) = x² − 3x − 6 в точке x = −2 пересекает ось y в точке y = b. Найдите b.

f(x) = x² − 3x − 6x = −2

b =

5.ОптимизацияСредняя

Закрытая цилиндрическая банка (с крышкой и дном) должна вмещать 1000 cm³. Расход металла пропорционален полной площади поверхности. Найдите наименьшую возможную площадь поверхности A.

V = 1000 cm³

A = cm²

6.ОптимизацияСложная

Компания продаёт q единиц в неделю. Цена, по которой их можно продать, p = 150 − 0,1q евро за единицу, а затраты C(q) = 1500 + 105q евро. Найдите недельный объём выпуска q, максимизирующий прибыль.

p = 150 − 0,1qC = 1500 + 105q

q = ед.

7.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₀^π x·sin x dx (x в радианах).

∫₀^π x·sin x dx

I =

8.ИнтегралыСложная

Область между прямой y = 2x и параболой y = 0,5x² вращается вокруг оси x. Найдите объём V полученного тела.

y = 2xy = 0,5x²

V =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = 1,5

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Умножьте на сопряжённое

f(x) = 6x/(√(4x² + 6x) + 2x)

Разделите на x

f(x) = 6/(√(4 + 6/x) + 2)

Пусть x → ∞

L = 6/(2 + 2) = 1,5

Ответ

L = 1,5

2.Пределы

Ответ: L = 1,125

Первое применение

(1,5·e^1,5x − 1,5)/(2x) → 0/0

Второе применение

2,25·e^1,5x/2

Подставьте x = 0

L = 2,25·1/2 = 1,125

Ответ

L = 1,125

3.Производные

Ответ: f′(2) = 54

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Цепное правило

f′(x) = 3·(2x − 1)²·2

Подставьте

f′(2) = 3·3²·2 = 54

Ответ

f′(2) = 54

4.Производные

Ответ: b = −10

Точка и наклон

f(−2) = 4

f′(x) = 2x − 3 → f′(−2) = −7

Касательная при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 4 − (−7)·(−2) = −10

Ответ

b = −10

5.Оптимизация

Ответ: A = 553,6 cm²

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция r

h = 1000/(πr²)

A(r) = 2πr² + 2000/r

Приравняйте производную к нулю

A″(r) = 4π + 4000/r³ > 0, поэтому это минимум.

4πr − 2000/r² = 0 → r = ∛(1000/(2π)) = 5,419 cm

Высота и площадь

h = 1000/(π·5,419²) = 2r = 10,84 cm

A = 2π·5,419² + 2000/5,419 = 553,6 cm²

Ответ

A = 553,6 cm²

Самая экономичная закрытая банка имеет высоту, равную диаметру: h = 2r.

6.Оптимизация

Ответ: q = 225 ед.

Функция прибыли

P(q) = (150 − 0,1q)·q − (1500 + 105q) = −0,1q² + 45q − 1500

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −0,2 < 0, поэтому это максимум.

q = 45/0,2 = 225

Цена и прибыль

p = 150 − 0,1·225 = €127,5

P = 45·225 − 0,1·225² − 1500 = €3563

Ответ

q = 225

7.Интегралы

Ответ: I = 3,142

Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.

Выберите u и dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

Первообразная

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

Пределы

(−π·cos π + sin π) − (0 + 0) = 3,142

Ответ

I = 3,142

8.Интегралы

Ответ: V = 107,2

Объёмы тел вращения: вращение области под y = f(x) от x = a до x = b вокруг оси x даёт тело, сечение которого при x — круг радиуса f(x). Суммирование кругов даёт V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Когда область лежит между внешней кривой R(x) и внутренней кривой r(x), каждый слой — кольцо (шайба): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Возводите радиусы в квадрат до вычитания.

Точки пересечения

2x = 0,5x² → x = 0, x = 4

Метод колец (шайб)

V = π∫₀⁴ ((2x)² − (0,5x²)²) dx

Интегрируйте

V = π(4·4³/3 − 0,25·4⁵/5) = π·34,13 = 107,2

Ответ

V = 107,2

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1